【炼丹技巧】指数移动平均（EMA）的原理及PyTorch实现
在深度学习中，经常会使用EMA（指数移动平均）这个方法对模型的参数做平均，以求提高测试指标并增加模型鲁棒。
今天瓦砾准备介绍一下EMA以及它的Pytorch实现代码。
EMA的定义
指数移动平均（Exponential Moving Average）也叫权重移动平均（Weighted Moving Average），是一种给予近期数据更高权重的平均方法。
假设我们有n个数据： [\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n]
- 普通的平均数： \overline{v}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \theta_i
- EMA： v_t = \beta\cdot v_{t-1} + (1-\beta)\cdot \theta_t ，其中， v_t 表示前 t 条的平均值 ( v_0=0 )， \beta 是加权权重值 (一般设为0.9-0.999)。
Andrew Ng在Course 2 Improving Deep Neural Networks中讲到，EMA可以近似看成过去 1/(1-\beta) 个时刻 v 值的平均。
普通的过去 n 时刻的平均是这样的：
v_t =\frac{(n-1)\cdot v_{t-1}+\theta_t}{n}
类比EMA，可以发现当 \beta=\frac{n-1}{n} 时，两式形式上相等。需要注意的是，两个平均并不是严格相等的，这里只是为了帮助理解。
实际上，EMA计算时，过去 1/(1-\beta) 个时刻之前的数值平均会decay到 \frac{1}{e} 的加权比例，证明如下。
如果将这里的 v_t 展开，可以得到：
v_t = \alpha^n v_{t-n} + (1-\alpha)(\alpha^{n-1}\theta_{t-n+1}+ ... +\alpha^0\theta_t)
其中， n=\frac{1}{1-\alpha} ，代入可以得到 \alpha^n=\alpha^{\frac{1}{1-\alpha}}\approx \frac{1}{e} 。
在深度学习的优化中的EMA
上面讲的是广义的ema定义和计算方法，特别的，在深度学习的优化过程中， \theta_t 是t时刻的模型权重weights， v_t 是t时刻的影子权重（shadow weights）。在梯度下降的过程中，会一直维护着这个影子权重，但是这个影子权重并不会参与训练。基本的假设是，模型权重在最后的n步内，会在实际的最优点处抖动，所以我们取最后n步的平均，能使得模型更加的鲁棒。
EMA的偏差修正
实际使用中，如果令 v_0=0 ，且步数较少，ema的计算结果会有一定偏差。
理想的平均是绿色的，因为初始值为0，所以得到的是紫色的。
因此可以加一个偏差修正（bias correction）：
v_t = \frac{v_t}{1-\beta^t}
显然，当t很大时，修正近似于1。
EMA为什么有效
网上大多数介绍EMA的博客，在介绍其为何有效的时候，只做了一些直觉上的解释，缺少严谨的推理，瓦砾在这补充一下，不喜欢看公式的读者可以跳过。
令第n时刻的模型权重（weights）为 v_n ，梯度为 g_n ，可得：
\begin{align} \theta_n &= \theta_{n-1}-g_{n-1} \\ &=\theta_{n-2}-g_{n-1}-g_{n-2} \\ &= ... \\ &= \theta_1-\sum_{i=1}^{n-1}g_i \end{align}
令第n时刻EMA的影子权重为 v_n ，可得：
\begin{align} v_n &= \alpha v_{n-1}+(1-\alpha)\theta_n \\ &= \alpha (\alpha v_{n-2}+(1-\alpha)\theta_{n-1})+(1-\alpha)\theta_n \\ &= ... \\ &= \alpha^n v_0+(1-\alpha)(\theta_n+\alpha\theta_{n-1}+\alpha^2\theta_{n-2}+...+\alpha^{n-1}\theta_{1}) \end{align}
代入上面 \theta_n 的表达，令 v_0=\theta_1 展开上面的公式，可得：
\begin{align} v_n &= \alpha^n v_0+(1-\alpha)(\theta_n+\alpha\theta_{n-1}+\alpha^2\theta_{n-2}+...+\alpha^{n-1}\theta_{1})\\ &= \alpha^n v_0+(1-\alpha)(\theta_1-\sum_{i=1}^{n-1}g_i+\alpha(\theta_1-\sum_{i=1}^{n-2}g_i)+...+ \alpha^{n-2}(\theta_1-\sum_{i=1}^{1}g_i)+\alpha^{n-1}\theta_{1})\\ &= \alpha^n v_0+(1-\alpha)(\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}\theta_1-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1-\alpha^{n-i}}{1-\alpha}g_i) \\ &= \alpha^n v_0+(1-\alpha^n)\theta_1 -\sum_{i=1}^{n-1}(1-\alpha^{n-i})g_i\\ &= \theta_1 -\sum_{i=1}^{n-1}(1-\alpha^{n-i})g_i \end{align}
对比两式：
\begin{align} \theta_n &= \theta_1-\sum_{i=1}^{n-1}g_i \\ v_n &= \theta_1 -\sum_{i=1}^{n-1}(1-\alpha^{n-i})g_i \end{align}
EMA对第i步的梯度下降的步长增加了权重系数 1-\alpha^{n-i} ，相当于做了一个learning rate decay。
PyTorch实现
瓦砾看了网上的一些实现，使用起来都不是特别方便，所以自己写了一个。
class EMA():
def __init__(self, model, decay):
self.model = model
self.decay = decay
self.shadow = {}
self.backup = {}
def register(self):
for name, param in self.model.named_parameters():
if param.requires_grad:
self.shadow[name] = param.data.clone()
def update(self):
for name, param in self.model.named_parameters():
if param.requires_grad:
assert name in self.shadow
new_average = (1.0 - self.decay) * param.data + self.decay * self.shadow[name]
self.shadow[name] = new_average.clone()
def apply_shadow(self):
for name, param in self.model.named_parameters():
if param.requires_grad:
assert name in self.shadow
self.backup[name] = param.data
param.data = self.shadow[name]
def restore(self):
for name, param in self.model.named_parameters():
if param.requires_grad:
assert name in self.backup
param.data = self.backup[name]
self.backup = {}
# 初始化
ema = EMA(model, 0.999)
ema.register()
# 训练过程中，更新完参数后，同步update shadow weights
def train():
optimizer.step()
ema.update()
# eval前，apply shadow weights；eval之后，恢复原来模型的参数
def evaluate():
ema.apply_shadow()
# evaluate
ema.restore()更优雅的排版见主页： 瓦特兰蒂斯
