8. MIT线性代数---Ax = b的解讨论
在上节课中，我们学习了 Ax=0 的一般求解过程。这一节我们将进一步来探讨，给出求解 Ax=b 的一般求解方法以及可解条件。并总结上一节中提到的 “秩” 对不同形式方程的解的影响。
1 可解性
对于Ax = b：
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\3 & 6 & 8 & 10 \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{bmatrix} \\
对于这个方程组，当b1、b2、b3为何值时，方程组将会无解，为何值时，方程组会有解！
列出增广矩阵，并化简：
\begin{bmatrix} A | b \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1\\\end{bmatrix} \\
可以看出，当我们对增广矩阵消元至第三行都为 0 的状态时，必须 b_3-b_2-b_1=0 ，否则方程组将无解。
如果从行的角度去理解，如果方程组系数矩阵A的行的线性组合可以生成 0 向量，那么相同的组合作用在b的分量上，也必须得到 0。
如果从列的角度去理解，我们可以把方程组看做如下表达：
x_1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \\ \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 2 \\ 8 \\ 10 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{bmatrix} \\
如果从列的角度去理解，我们可以有如下总结。向量b为系数矩阵A的列的线性组合。
方程组的意思则是是否对于向量b存在一种组合系数，使得系数矩阵A的列可以线性的表示b。很显然，如果b存在于系数矩阵A的列所构成的空间中（即列空间C (A)），那么方程组有解。
总结一下Ax=b 有解的条件:
- 行的角度：如果方程组系数矩阵A的行向量的线性组合可以生成 $0$ 向量，那么相同的组合作用在b的分量上，也必须得到 $0$。
- 列向量的角度：b 必须是 A 各列向量的线性组合。
- 列空间角度：当且仅当 b 属于 A 的列空间时成立。
2 方程组的解
接下来我们通过通解，特解，并借此求解方程 Ax=b 。
设 b = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 6\\ \end{bmatrix} 满足可解条件，接下来我们求解方程。方程的解结构有两部分组成。
我们介绍一下通解的概念。通解是满足这个方程的所有解。对于 Ax=b 这个方程， 通解 = 矩阵零空间向量 + 特解 。其中矩阵零空间为Ax=0的解 ，它不会影响等式，而是使我们求出的解更具有普遍意义（因为我们对自由变量设定了特定的值，所以我们称之为特解）。
我们已经求得矩阵的零空间向量为 x = c_1\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} 。这里我们只需要求得特解，特解为Ax = b 行最简形式自由变量全部为0时的解。
我们让 x_2, \ x_4 = 0 ，回代方程得到：
x_1 + 2x_3 = 1 \\ 2x_3 = 3 \\
得到特解为：
\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\
所以最后的结果为：特解 + 矩阵零空间向量
\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\
集合解释为： R^4 上的一个二维平面，很显然这个解集无法构成一个向量空间，因为解集中连零向量都没有。也可以理解为解集在空间中表现为 R^4 中的一个不过原点的平面。
3 m\times n 的矩阵A的秩与解的关系
下面我们推广到 m\times n 的矩阵。
3.1 列满秩
即m\times n的矩阵A中， 秩 R=n<m 。
例如： \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} ， 即 R = 2 = n < m 消元后A为 \begin{bmatrix} I \\ 0 \\ \end{bmatrix} 形式。我们发现这样的矩阵没有自由元，即 x_1, x_2, \cdots , x_n 都为主元。也就是说这样的矩阵零空间向量中只有一个向量--零空间。解最后只有两种情况：
- 有解且唯一
- 无解，不满足可解条件
3.2 行满秩
即m\times n的矩阵A中， 秩 R=m < n 。
例如： \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} ， 即 R = 2 = m < n 消元后A为 \begin{bmatrix} I & F \\ \end{bmatrix} 形式，很明显肯定会有无穷多个解，因为这种矩阵，永远有 n-R 个。
3.3 行列皆满秩
当 m \times n 矩阵A是方阵时，即 m=n 时，那么秩 R = m 时，必有 R=n。
例如： \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \ \end{bmatrix} ， R = 2 = m = n， 这种矩阵经过消元，必可以转化为单位矩阵 I ，自由变量个数为 0。只能得到一个全是主元的方程组。所以这种矩阵构成的Ax=b方程最后只能有唯一解。
3.4 不满秩
秩R < n， 而且 R<m 时， A矩阵不满秩，矩阵A所构成的Ax=b方程解有两种情况：
- 不满足可解条件（零行导致的可解条件）
- 解无穷多个（特解 + 零空间所有向量）
总结一下：
\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\R=I&R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array} \\
