关于欧拉函数及其一些性质的美妙证明（2）
欧拉函数是数论中最重要也是最基础的一个函数，这个函数的很多性质及其证明虽然基础，但是显得很“烧脑”，一些数学爱好者往往看了不少资料，最终仍然“莫名其妙”，不能理解它的奥妙所在。这回，我努力用一些更容易看懂的方式，来证明（或者叫说明）欧拉函数许多有趣的性质。希望大家能从中体会到，数学之美、逻辑之美像艺术之美一样，深刻而美妙，值得欣赏。
三、欧拉函数的计算公式
看到了欧拉函数和它的一些奇妙性质，很多人都会希望知道欧拉函数有没有什么通项公式或者计算公式，比如能够直接用n来表示 ϕ(n) 。遗憾的是这个难度太大，事实上，如果不知道n的质因数分解，是无法计算 ϕ(n) 的。
为了计算 ϕ(n) ，我们由浅入深的思考一下欧拉函数的各种情况。
结论1、如果n是一个素数，这种情况最简单。
设n=p，p为素数。此时 ϕ(n) 显然等于p-1。这是因为从1到p，除了p以外的数都与p互质。即 ϕ(n)=p-1=p·(1-1/p)=n·(1-1/p) 。
结论2、如果n是一个素数的α次幂
设 n=p^α ，那么从1到n中，只有含素因子p的数不与n互质，其它数都与n互质。含有素因子p的数就是能被p整除的数，也就是p的倍数。那么从1到n有多少个p的倍数呢？显然，p、2p、3p、……、 (p^{(α-1)}-1)·p 、 p^{(α-1)}·p ，这些都是p的倍数，一直到 n=p^α 为止。数一数就知道，一共有 p^{(α-1)} 个p的倍数。
于是，此时 ϕ(n)=n-p^{(α-1)}=p^α-p^{(α-1)}=p^α·(1-1/p)=n·(1-1/p) 。
从这两种情况我们发现，当表达为 ϕ(n)=n·(1-1/p) 时，这两种情况下的计算公式是一样的。
结论3、稍微复杂一点的情况，n是两个素数的乘积。
设 n=p·q ，这里q是另外一个素数。显然，此时与n互质的数必须不包含素因子p和q，也就是说既不能是p的倍数，也不能是q的倍数。类似上面2中的分析，p倍数应有q个，q的倍数有p个，但是还多算了一个即是p的倍数也是q的倍数的数，就是n自己。这样，小于等于n且包含质因子p或q的数共有p+q-1个。于是，
ϕ(n)=n-(p+q-1)=p·q-p-q+1=(p-1)·(q-1)=n·(1-1/p)·(1-1/q)
注意观察的话，还可以发现，
ϕ(n)=ϕ(p·q)=p·q·(1-1/p)·(1-1/q)=ϕ(p)·ϕ(q)
结论4、再扩展一步，n是某个数m和一个与m互质的素数p的乘积。
此时，小于等于n且与n互质的数必须是即与m互质也与p互质的数。
我们首先看小于等于n（也即m*p）且与m互质的数。任何与m互质的数除以m的余数也必然与m互质，反之也如此，一个数除以m的余数如果与m互质，那么这个数就与m互质。所以，如果某个小于m的数r与m互质，那么任意k*m+r都与m互质。在小于m*p的数里面，这样的数有r、m+r、2m+r、…、（p-1）m+r，共计p个。如果我们把n个数写成一个m*p的矩阵，容易发现这正好是这个矩阵第r列的p个数。
再看这p个数中，有哪些与p互质呢？类似前面证明中的思路，这p个数任意两个数之差都是一个小于p的数与m的乘积，由于m与p互质，因此任意两个数之差都不是p的倍数。也就是说，这p个数除以p的余数两两不相同，或者说，这p个数除以p的余数组成的集合正好是{0、1、…、p-1}。我们知道，因为p是素数，只要一个数除以p的余数不为0（也就是不能被p整除），那么这个数就与p互质。所以，这p个数中，除了那个除以p余数为0的数以外，其余p-1个数都与p互质。
好了，既然这么凑巧，每个r对应的一列与m互质的数之中，恰巧都有p-1个与p也互质的数，就是说，这一列与n（即m*p）互质的数有p-1个。这样的列有多少呢？显然，就是小于m且与m互质的数的个数，也就是 ϕ(m) 列。
于是，我们得到，此时
ϕ(n)=ϕ(m)∙(p-1)
结论5、最后一种情况，如果n=m*p，p是素数，但是p不与m互质呢？
这时，显然p|m（p整除m）。这种情况其实比上一种情况还要简单，是因为既然素数p是m的因子，那么任何与m互质的数都与p互质。
我们仍然观察4中的矩阵，可以知道，对于任意一列r（r与m互质），其中的r、m+r、2m+r、…、（p-1）m+r都与p互质（因为它们都与m互质）。所以，这一列中与n（即m*p）互质的数有p个。这样的列仍然有 ϕ(m) 个，于是此时
ϕ(n)=ϕ(m)∙p
好，大功告成！有了1～5这些结论，我们可以给出任意 ϕ(n) 的计算公式了。
设 n=p_1^{\alpha_1 }∙p_2^{\alpha_2 }∙……∙p_k^{\alpha_k} ，则
ϕ(n)=ϕ((p_1^{\alpha_1 }∙p_2^{\alpha_2 }∙……∙p_{k-1}^{\alpha_{k-1} }∙p_k^{\alpha_k-1 })∙p_k )
\ \ \ \ \ \ \ \ =ϕ(p_1^{\alpha_1 }∙p_2^{\alpha_2 }∙……∙p_{k-1}^{\alpha_{k-1} }∙p_k^{\alpha_k-1 })∙p_k\ \ \ \ \ \ \ （结论5）
\ \ \ \ \ \ \ \ =......
\ \ \ \ \ \ \ \ =ϕ(p_1^{\alpha_1 }∙p_2^{\alpha_2 }∙……∙p_{k-1}^{\alpha_{k-1} }∙p_k)∙p_k^{\alpha_k-1}
\ \ \ \ \ \ \ \ =ϕ(p_1^{\alpha_1 }∙p_2^{\alpha_2 }∙……∙p_{k-1}^{\alpha_{k-1} })∙(p_k-1)∙p_k^{\alpha_k-1}\ \ \ \ \ \ \ （结论4）
\ \ \ \ \ \ \ \ =ϕ(p_1^{\alpha_1 }∙p_2^{\alpha_2 }∙……∙p_{k-1}^{\alpha_{k-1} })∙p_k^{\alpha_k}∙(1-1/p_k)
\ \ \ \ \ \ \ \ =......
\ \ \ \ \ \ \ \ =ϕ(p_1^{\alpha_1 })∙p_2^{\alpha_2 }∙(1-1/p_2)∙……∙p_k^{\alpha_k}∙(1-1/p_k)
\ \ \ \ \ \ \ \ =p_1^{\alpha_1 }∙(1-1/p_1)∙p_2^{\alpha_2 }∙(1-1/p_2)∙……∙p_k^{\alpha_k}∙(1-1/p_k)\ \ \ \ \ \ \ （结论2）
\ \ \ \ \ \ \ \ =n\cdot\prod_{i=1}^{k}(1-1/p_i)
由上式可见，一个整数的欧拉函数不仅仅与这个整数有关，还与这个整数的质因数分解有关，这是欧拉函数的一个重要特点。
四、欧拉函数的其它性质
如果对数论或者对欧拉函数感兴趣，喜欢认真研究一下的话，就会发现，欧拉函数还有很多有趣的性质。这里列举几个，感兴趣的朋友可以自己证明一下。
1、当m和n互质时【记作(m,n)=1，或gcd(m,n)=1，就是m和n的最大公约数是1】， ϕ(m∙n)=ϕ(m)∙ϕ(n) 。
提示，使用欧拉函数计算公式可以直接得到，也可以通过扩展第三部分中的结论4的方法来证明。
2、如果gcd(m,n)=d，那么 ϕ(m∙n)=(ϕ(m)∙ϕ(n)∙d)/ϕ(d) 。
提示，可以使用欧拉函数计算公式推演得到。
3、n>2时， ϕ(n) 都是偶数。
提示，可以通过欧拉函数计算公司很容易得到。但是，还可以通过另外一个思路，发现与n互质的数总是成对出现。
4、当n>1时，
\sum_{i<n, (i,n)=1}^{}{i}\ =\ (n∙ϕ(n))/2
提示，如果3的证明你找到了另一个思路，4这个问题就迎刃而解了。
好了，欧拉函数及其相关性质并不是多复杂的数学问题，而是初等数论的基础知识。但是其证明过程中有着很美妙的逻辑，让人感觉原来纷繁复杂的、似乎没有任何规律的互质、同余等问题原来有着更深刻的内在的规律。当你体验到这种规律和其得出的结论时，你就能从一个很小的角度体会到数学与逻辑之美。
所以我一直认为，欣赏数学之美和欣赏艺术之美在本质上是类似的！
