第十三课：矩阵的谱分解（一）

抢座大战没能抢过别人，上课走神没有好好听讲，内心的苦涩难以言表，恐怕这一节的内容写

不好了。

不说了，下面进入正题。

在线性代数中，我们已经讨论过一个方阵的特征值和特征向量的问题，已经发现特征值有着非常重要的作用。由于相似矩阵有相同的特征值，因而人们总是希望在相似矩阵中找到结构最简单的矩阵，就是对角矩阵或Jordan标准形矩阵。下面，我们将矩阵的特征值，进一步寻求利用简单矩阵来表示已知矩阵，即矩阵的谱分解。

在具体讲解本节内容之前，我们先一起来回忆一下相关概念。我们在特征值与特征向量这一节中曾经介绍过谱、Jordan标准形以及几何重数和代数重数的概念。如果忘记了，可以点开这个链接再回忆一下。这些概念是本节课程的基础，我们下面具体介绍本节的内容。

单纯矩阵的谱分解

显然， \sum_{i=1}^{k}{r_i}=n ，特征值 \lambda_i 的代数重复度 r_i 就是特征根 \lambda_i 的重数。A对于特征值 \lambda_i 的特征子空间的维数就是属于 \lambda_i 的线性无关特征的特征向量的最大个数。对于代数重复度和集合重复度而言，同样有代数重复度大于等于几何重复度。

下面我们介绍一下单纯矩阵的概念：

判断矩阵A是不是单纯矩阵的充要条件就是看矩阵A是否与对角矩阵相似（即可以相似对角

化）。

我们下面介绍几个定理：

这里我们介绍一下幂等矩阵：第一次遇到幂等矩阵的时候是在学习第一章：酉空间的分解与投影。不好意思，那一节我没有幂等矩阵的概念。这里我再简单说一下吧：若A为方阵，且

A^2=A ,则A称为幂等矩阵。所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。下面我们给出具体证明：

其中 \lambda_i 是A的特征值。

由于P是可逆矩阵，所以P的n个列向量线性无关，可以进行分块为 v_i 。同样的道理 P^{-1} 的n个行向量也线性无关。可以进行分块为 \omega_i^T

于是矩阵A可以表示为：

证明完成。

定理3的分解式称为矩阵A的谱分解，谱分解式中的 A_i 有如下性质：

我们举一个谱分解的例子：

设A为单纯矩阵，下式的谱分解为：

A^2+A+E=\sum_{i=1}^{n}{(\lambda_i^2+\lambda_i+1)A_i}

下面我们介绍一个更一般的单纯矩阵谱分解定理：

该定理比定理3要求放宽了，不再要求必须要有n个特征值了，这里的k可以小于等于n。下面我们给出该定理的具体证明：

先来证明必要性：

注意这里A是有k个相异的特征值，如果k=n，那就是定理3。如果k<n，那么我们可以将特征值和合并，写成带 \lambda 的和式。

第三条性质得证。

下面我们来证明充分性：

证明之前我们并不知道几何重数等于代数重数的，我们这里就先假设几何重数等于代数重数。最后验证的确几何重数等于代数重数。

这个证明比较复杂，考的可能性也不高。这个证明就先这个着吧。（逃）