递推数列——不动点法
由数列的递推公式求解通项公式是一类常见的数列问题。这篇文章将简单介绍一种求解某些一阶递推数列的通用方法：不动点法。
一个例子
我们先来看一个例题。
已知数列 \{a_n\}, n=1,2,3,\cdots 满足 a_{n+1}=\frac{4a_n-2}{a_n+1} ，其中 n=1,2,3,\cdots ，且 a_1=4 ，求 \{a_n\} 的通项公式。
解：注意到 \frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-2}=\frac{\frac{4a_n-2}{a_n+1}-1}{\frac{4a_n-2}{a_n+1}-2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{a_{n}-1}{a_{n}-2} ，故 \left\{\frac{a_{n}-1}{a_{n}-2}\right\} 为以 \frac{3}{2} 为公比的等比数列，又 \frac{a_1-1}{a_1-2}=\frac{3}{2} ，所以 \frac{a_{n}-1}{a_{n}-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^n ，即 a_n=2+\frac{2^n}{3^n-2^n} 。
看完这个解答有什么感受？是不是第一步的“注意到”让人一头雾水？
其实，这个“注意到”并不是乱凑出来的，发现这一步的原理就是本文要讲的不动点法。
递推数列与函数迭代
最开始，不动点法是作为求解函数迭代的方法而被研究的。所以在开始之前，我们先介绍一下递推数列与函数迭代的关系。
对于一阶递推数列，我们可以把递推公式看成函数关系 a_{n+1}=f(a_n) 。在我们知道了 a_1 的值之后，就可以依次求出数列每一项的值：
\begin{align} a_2&=f(a_1)\\ a_3&=f(a_2)=f(f(a_1))\\ a_4&=f(a_3)=f(f(a_2))=f(f(f(a_1)))\\ &\cdots \end{align}
写到这里，就能发现，求解递推数列和求解函数迭代在本质上是一样的。
我们记 n 次迭代函数 f^{(n)}(x)=\underbrace{f(f(f(\cdots f}_{n个f}(x)))) ，并补充定义 f^{(0)}(x)=x ，那么对于递推数列 a_{n+1}=f(a_n) ，我们可以通过求解函数迭代来求解数列的通项公式 a_n=f^{(n-1)}(a_1) 。
于是，求解递推数列的问题就转化为了求解函数迭代。
函数的不动点
对于函数 f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R ，我们把满足 f(x_0)=x_0 的 x_0 称为 f(x) 的不动点。
为什么叫“不动点”呢？如果我们把函数看作从 \mathbb R 到 \mathbb R 的一个映射，那么不动点经过这一映射之后，还是它本身，就像固定在数轴上“不动”，所以叫做“不动点”。
不动点有很多奇妙的应用。比如巴拿赫不动点定理，又称压缩映射定理，这个定理指出，如果一张地图的内容包含地图本身所处的位置，那么地图上一定有一个点和它的实际位置重合，也就是“从现实位置到地图位置”这一映射的不动点。再比如数值分析中的不动点迭代法，可以快速求解一个函数的不动点的近似值，进而也就能求解方程的根的近似值。本文主要介绍不动点在求解递推数列及函数迭代中的应用，所以对不动点的其他性质不多加赘述。
不动点和函数迭代有很大的关系。可以发现，一个函数的不动点也是它的任意次迭代函数的不动点，也就是 f^{(n)}(x_0)=f^{(n-1)}(f(x_0))=f^{(n-1)}(x_0)=\cdots=f(x_0)=x_0 。
当然，反过来并不一定成立。迭代函数的不动点不一定是原始函数的不动点。例子很好找，比如 f(x)=\frac1x ，它的二次迭代函数 f^{(2)}(x)=x ，处处都是不动点，但是 f(x) 的不动点只有 \pm1 而已。
换元法与函数相似
换元法可以说是最常用的简化问题的方法了。文章开头的例题也可以看作是换元法的一种应用，也就是令 b_n=\frac{a_{n}-1}{a_{n}-2} ，从而得出 \left\{ b_n \right\} 是等比数列，极大地简化了问题。
既然我们刚才已经找到了数列迭代在函数观点下的写法，那么能不能找到换元法在函数观点下的形式呢？
对于一个函数 f(x) ，我们作换元 t=\varphi(x) 。为了问题简便，我们不妨只考虑 \varphi(x) 是一一映射的情形，这时候就能用反函数来表达 x=\varphi^{-1}(t) ，于是 f(x) 就有了自变量为 t 的形式 f(\varphi^{-1}(t)) 。
现在我们来看一个问题：f(x) 的迭代在换元之后的形式下如何表达？
先从二次迭代开始，我们的目标是在 f(f(x)) 中凑出f(\varphi^{-1}(t)) 这样的形式。
如果我们把二次迭代 f(f(x)) 看成一个复合函数，它的外层函数的自变量 x'=f(x) ，我们对这个 x' 也做一次换元： t'=\varphi(x')=\varphi(f(\varphi^{-1}(t))) 。
有没有感觉这个形式和 x'=f(x) 很像？左边都是下一次迭代的自变量，右边都是上一次迭代的自变量。
于是我们令 g(t)=\varphi(f(\varphi^{-1}(t))) ，接着计算 g(t) 的迭代：
\begin{align} g(g(t))&=\varphi(f(\varphi^{-1}(\varphi(f(\varphi^{-1}(t))))))\\ &=\varphi(f(f(\varphi^{-1}(t)))) \end{align}\\
也就是说， g^{(2)}(t)=\varphi(f^{(2)}(\varphi^{-1}(t))) 。同理，可以由数学归纳法证明， g^{(n)}(t)=\varphi(f^{(n)}(\varphi^{-1}(t))) 。这就是迭代在换元法下的表达。
接下来，我们总结一下上面的内容，提出函数相似的概念。
对于两个函数 f(x) 和 g(x) ，如果存在一个函数 \varphi(x) 及其反函数 \varphi^{-1}(x) ，使得 g(x)=\varphi(f(\varphi^{-1}(x))) ，则称f(x) 与 g(x) 通过 \varphi(x) 相似，记作 f\ \mathop{\sim}\limits^{\varphi}\ g ，其中 \varphi(x) 称为桥函数。
刚才我们已经证明了函数相似的一个性质：如果 f\ \mathop{\sim}\limits^{\varphi}\ g ，那么 f^{(n)}\ \mathop{\sim}\limits^{\varphi}\ g^{(n)} 。
函数相似还有一个与不动点相关的性质。
对于 g(x) 的不动点 x_0 ，有 x_0=g(x_0)=\varphi(f(\varphi^{-1}(x_0))) ，于是 \varphi^{-1}(x_0)=f(\varphi^{-1}(x_0)) ，故 \varphi^{-1}(x_0) 是 f(x) 的不动点。这表明，f(x) 与 g(x) 的不动点一一对应。
不动点法
讲了这么多，终于到我们的重头戏了——缝合（误）。
把我们刚才的一系列概念综合起来，就得到了求解函数迭代的不动点法。
当我们要求解一个比较复杂的函数 f(x) 的迭代时，可以去寻找一个与之相似但形式更简单的函数 g(x) ，通过计算 g^{(n)}(x) ，再根据 g^{(n)}(x)=\varphi(f^{(n)}(\varphi^{-1}(x))) ，得出 f^{(n)}(x)=\varphi^{-1}(g^{(n)}(\varphi(x))) 。
那么，为什么这种方法要叫做不动点法呢？因为我们可以通过不动点来构造一些简单的 g(x) 。
什么样的 g(x) 算简单呢？当然是迭代容易计算的函数就是简单函数。最常见的就是两类： g(x)=x+b 和 g(x)=kx （其中 k, b 为常数）。不难发现，这两类函数对应的是等差数列和等比数列的递推公式。
接下来我们分析一下这两类函数的不动点。（这里需要允许一些不太严谨的描述，比如未加定义地引入无穷大及其直观的运算规律。）前者 g(x)=x+b 的不动点是 \pm\infty ，而后者 g(x)=kx 的不动点是 0 和 \pm\infty 。
按照前文所说的函数相似的性质， f(x) 的不动点要和 g(x) 一一对应，也就是对于 f(x) 的不动点 x_0 ，有 \varphi(x_0) 是 g(x) 的不动点。如果只考虑不动点之间的对应关系，我们可以这样简单地构造一个 \varphi(x) ：
- 如果 f(x) 有唯一不动点 x_0 ，令 \varphi(x)=\frac{1}{x-x_0} 。这样 \varphi(x_0)=\infty 是 g(x)=x+b 的不动点。
- 如果 f(x) 有两个不动点 x_1 和 x_2 ，令 \varphi(x)=\frac{x-x_1}{x-x_2} 。这样两个不动点分别被映射到 0 和 \infty ，是 g(x)=kx 的不动点。
神奇的是，即使是仅考虑了不动点的情形，这样构造的 \varphi(x) 还是能简化一大类 f(x) （主要是分式函数）。
不动点法在数列中的应用
让我们隐藏掉中间的过程，来看看不动点法应用到数列上是怎样的。
- 找不动点。只需要简单地把递推公式里的 a_n 和 a_{n+1} 都换成 x ，再求解这个方程，得到的结果就是不动点。
- 换元。按照上文的方法构造 b_n=\frac{1}{a_n-x_0} 或者 b_n=\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2} ，代入原递推公式，化简得到 \left\{ b_n \right\} 的递推关系，从而解出其通项公式。
- 求解。利用 a_n 和 b_n 之间的关系，解出 \left\{a_n\right\} 的通项公式。
现在在看看开头的例题，是不是明白了许多呢？
不动点法的局限性
不动点法虽然有时候很好用，但是也经常会遇到失灵的情况，包括但不限于：
- 求解不动点时无解。
- 代换之后的数列并没有一个相对简单的形式。
这时候，就说明这个问题并不适合用不动点法解决。
而且，因为不动点法看起来太过于投机取巧，很多问题都会刻意地限制不动点法的套用。这个时候一定要及时更换思路，不能钻牛角尖。