线性代数本质(9)--基变换

幸得识卿桃花面，从此阡陌多暖春。

Mathematics is the art of giving the Same name to different things。

正如庞加莱所说，数学是一门赋予不同事物相同名称的艺术。

9.0 总结

❤️❤️❤️ A^{-1}MA 暗示一种数学上的转移作用，中间的矩阵 M 代表一种标准坐标系下常见的的变换(旋转变换，剪切变换等); A^{-1},A 代表转移作用，也就是在不同于标准坐标系与标准坐标系之间进行转换, 实际上也是视角上的转化。矩阵乘积代表着同一种变换，只不过是从别的坐标系的角度来看。

❤️❤️线性变换依赖于所选择的基。

为了方便理解，将总结前后copy了一份，与9.5章节的内容保持一致。

9.1 基本假设

我们前面提到的缩放、线性变换等，都有一个基本的假设前提： ①第一个坐标 \rightarrow ② 第二个坐标 \uparrow ③单位长度

发生在向量与一组数之间的变换，都被称为“坐标系”，在此基础上会存在一组基向量。其中图中的 \vec{i},\vec{j} 称为标准坐标系下的基向量。

假设二维空间中使用另外一个非标准基 \vec{b_1},\vec{b_2}, 特别的，两个坐标系原点的定义是一致的。\vec{i},\vec{j} 坐标系下的向量\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix} 在非标准基 \vec{b_1},\vec{b_2}就变成了 \begin{bmatrix} 5/3\\ 1/3 \end{bmatrix} 。

9.2 向量在不同坐标系下的表示

如果在 \vec{b_1},\vec{b_2} 的坐标系下，将向量转化为到 \vec{i},\vec{j} 坐标系下

首先来看，\vec{b_1},\vec{b_2} 在 \vec{i},\vec{j} 坐标系表示的结果为 \vec{b_1}=(2,1),\vec{b_2}=(-1,1)

在此基础上，我们将 \vec{b_1},\vec{b_2} 基坐标系下的\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} 用 \vec{i},\vec{j} 坐标系表示的结果是： (用某个向量的特定坐标与它的基坐标进行数乘，然后将各个维度求和)

进一步，因为是线性变换，所以将其转化为矩阵乘法，矩阵的列是 \vec{i},\vec{j} 在变换到 \vec{b_1},\vec{b_2} 后的位置：

特别的，这里 \begin{bmatrix} 2&-1 \\ 1&1 \end{bmatrix} 就意味着是 \vec{b_1},\vec{b_2} 在\vec{i},\vec{j} 表示下的基坐标。

9.3 基向量变换

关于下面的介绍到提到詹妮弗做简单的说明

将 \vec{b_1},\vec{b_2} 构成的空间网格称为 "詹妮弗的网格(Jennifer's grid)"
因为 \vec{i},\vec{j} 构成的是标准空间，因此构成的空间网格为“我们的网格(our grid)”

首先，将 \vec{i},\vec{j} 基向量变换为 \vec{b_1},\vec{b_2} 基向量【正变换】

特别的，❤️几何上表示的是这个矩阵是将我们的网络变换为Jennifer的网络，但是数值上是将Jennifer的语言用我们的语言来表示，相当于这个矩阵是基于 \vec{i},\vec{j} 来表示的❤️【这里很容易理解错误】

其次，将 \vec{b_1},\vec{b_2} 基向量变换为 \vec{i},\vec{j} 基向量【逆变换，它是一个新的变换，将对应的变换逆向进行。】

特别的，❤️几何上表示的是这个矩阵是将Jennifer的网络变换为我们的网络，但是数值上是将我们的语言变成了Jennifer的语言，相当于这个矩阵是 \vec{b_1},\vec{b_2} 来表示的❤️

9.3.1 基向量变换距离说明

继续开始的举例：

\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} 是在基向量 \vec{i},\vec{j} 的表示结果，\begin{bmatrix} 5/3 \\ 1/3 \end{bmatrix} 是在基向量 \vec{b_1},\vec{b_2} 下的表示结果，两者实际是同一个向量，只不过是在不同基坐标系的表示结果。

那么如何将 \vec{i},\vec{j} 基坐标系表示的向量用 \vec{b_1},\vec{b_2} 的向量来表示：

9.4 不同坐标系之间的变换

9.4.1 变换依赖基向量的选择

线性变换、矩阵乘法、逆时针旋转90度坐标系，这种表示与我们所选择的基向量有关。

就是需要跟踪我们所选择的基向量，用我们的坐标记录来记录变换后的坐标位置。

那么我们来看， \vec{b_1},\vec{b_2} 坐标系逆时针旋转90度。

在此我们不应该去利用 \begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}来进行变换，因为这个变换是在追踪\vec{i}=(1,0),\vec{j}=(0,1) 得到的，而需要的找到基向量 \vec{b_1},\vec{b_2} 变换后的位置，也就是需要在 \vec{b_1},\vec{b_2} 对应坐标系下最终它的基向量位置的变化结果。