【经典简读】知识蒸馏(Knowledge Distillation) 经典之作
文字长度: ★★★☆☆
阅读难度: ★★☆☆☆
原创程度: ★★★★★
知识蒸馏是一种模型压缩方法，是一种基于“教师-学生网络思想”的训练方法，由于其简单，有效，在工业界被广泛应用。这一技术的理论来自于2015年Hinton发表的一篇神作:
Knowledge Distillation，简称KD，顾名思义，就是将已经训练好的模型包含的知识(”Knowledge”)，蒸馏("Distill")提取到另一个模型里面去。今天，我们就来简单读一下这篇论文，力求用简单的语言描述论文作者的主要思想。在本文中，我们将从背景和动机讲起，然后着重介绍“知识蒸馏”的方法，最后我会讨论“温度“这个名词:
- 温度: 我们都知道“蒸馏”需要在高温下进行，那么这个“蒸馏”的温度代表了什么，又是如何选取合适的温度？
2021.1.8 更新
这篇文章发表以来，有很多读者关注和留言，今天整理补充一下一些Q&A，如果有误请指出。
- 损失函数L中两个权重系数alpha和Beta是超参还是需要训练的参数呢? 在复现的过程中发现我的loss值很大，是因为T设置的问题吗？因为乘上T^2后，相对而言alpha要比Beta大很多？
【回答】 L=\alpha L_{soft}+\beta L_{hard} 中的alpha和beta都是超参数。由本文第3部分的推导可得alpha中包含T^2的部分，所以T比较大的时候， \alpha L_{soft} 会比较大。
2. Hinton开篇指出，所提方法是为了'压缩模型'，KD能够让Student model获取Teacher model的泛化能力，也即让小模型能够干大事情。但KD仍然要训练Teacher model，并且Student model需要依靠Teacher model得到的soft targets，意味着Teacher model是不可或缺，那这样的话，'压缩模型'地目的是否真的达到了呢？
【回答】压缩模型的对象一般是指的部署上线的模型，而Teacher model只在训练的过程中用到。并且同一个Teacher model可以用于蒸馏多个student model。
本文的内容由以下几个部分组成
- 介绍
- 论文提出的背景
- “思想歧路“
- 知识蒸馏的理论依据
- Teacher Model和Student Model
- 知识蒸馏的关键点
- softmax函数
- 知识蒸馏的具体方法
- 通用的知识蒸馏方法
- 一种特殊情形: 直接match logits
- 关于"温度"的讨论
- 温度的特点
- 温度代表了什么，如何选取合适的温度？
- 参考
1. 介绍
1.1. 论文提出的背景
虽然在一般情况下，我们不会去区分训练和部署使用的模型，但是训练和部署之间存在着一定的不一致性:
- 在训练过程中，我们需要使用复杂的模型，大量的计算资源，以便从非常大、高度冗余的数据集中提取出信息。在实验中，效果最好的模型往往规模很大，甚至由多个模型集成得到。而大模型不方便部署到服务中去，常见的瓶颈如下:
- 推断速度慢
- 对部署资源要求高(内存，显存等)
- 在部署时，我们对延迟以及计算资源都有着严格的限制。
因此，模型压缩（在保证性能的前提下减少模型的参数量）成为了一个重要的问题。而”模型蒸馏“属于模型压缩的一种方法。
插句题外话，我们可以从模型参数量和训练数据量之间的相对关系来理解underfitting和overfitting。AI领域的从业者可能对此已经习以为常，但是为了力求让小白也能读懂本文，还是引用我同事的解释（我印象很深）形象地说明一下:
模型就像一个容器，训练数据中蕴含的知识就像是要装进容器里的水。当数据知识量(水量)超过模型所能建模的范围时(容器的容积)，加再多的数据也不能提升效果(水再多也装不进容器)，因为模型的表达空间有限(容器容积有限)，就会造成underfitting；而当模型的参数量大于已有知识所需要的表达空间时(容积大于水量，水装不满容器)，就会造成overfitting，即模型的variance会增大(想象一下摇晃半满的容器，里面水的形状是不稳定的)。
1.2. “思想歧路”
上面容器和水的比喻非常经典和贴切，但是会引起一个误解: 人们在直觉上会觉得，要保留相近的知识量，必须保留相近规模的模型。也就是说，一个模型的参数量基本决定了其所能捕获到的数据内蕴含的“知识”的量。
这样的想法是基本正确的，但是需要注意的是:
- 模型的参数量和其所能捕获的“知识“量之间并非稳定的线性关系(下图中的1)，而是接近边际收益逐渐减少的一种增长曲线(下图中的2和3)
- 完全相同的模型架构和模型参数量，使用完全相同的训练数据，能捕获的“知识”量并不一定完全相同，另一个关键因素是训练的方法。合适的训练方法可以使得在模型参数总量比较小时，尽可能地获取到更多的“知识”(下图中的3与2曲线的对比).
2. 知识蒸馏的理论依据
2.1. Teacher Model和Student Model
知识蒸馏使用的是Teacher—Student模型，其中teacher是“知识”的输出者，student是“知识”的接受者。知识蒸馏的过程分为2个阶段:
- 原始模型训练: 训练"Teacher模型", 简称为Net-T，它的特点是模型相对复杂，也可以由多个分别训练的模型集成而成。我们对"Teacher模型"不作任何关于模型架构、参数量、是否集成方面的限制，唯一的要求就是，对于输入X, 其都能输出Y，其中Y经过softmax的映射，输出值对应相应类别的概率值。
- 精简模型训练: 训练"Student模型", 简称为Net-S，它是参数量较小、模型结构相对简单的单模型。同样的，对于输入X，其都能输出Y，Y经过softmax映射后同样能输出对应相应类别的概率值。
在本论文中，作者将问题限定在分类问题下，或者其他本质上属于分类问题的问题，该类问题的共同点是模型最后会有一个softmax层，其输出值对应了相应类别的概率值。
2.2. 知识蒸馏的关键点
如果回归机器学习最最基础的理论，我们可以很清楚地意识到一点(而这一点往往在我们深入研究机器学习之后被忽略): 机器学习最根本的目的在于训练出在某个问题上泛化能力强的模型。
- 泛化能力强: 在某问题的所有数据上都能很好地反应输入和输出之间的关系，无论是训练数据，还是测试数据，还是任何属于该问题的未知数据。
而现实中，由于我们不可能收集到某问题的所有数据来作为训练数据，并且新数据总是在源源不断的产生，因此我们只能退而求其次，训练目标变成在已有的训练数据集上建模输入和输出之间的关系。由于训练数据集是对真实数据分布情况的采样，训练数据集上的最优解往往会多少偏离真正的最优解(这里的讨论不考虑模型容量)。
而在知识蒸馏时，由于我们已经有了一个泛化能力较强的Net-T，我们在利用Net-T来蒸馏训练Net-S时，可以直接让Net-S去学习Net-T的泛化能力。
一个很直白且高效的迁移泛化能力的方法就是：使用softmax层输出的类别的概率来作为“soft target”。
【KD的训练过程和传统的训练过程的对比】
- 传统training过程(hard targets): 对ground truth求极大似然
- KD的training过程(soft targets): 用large model的class probabilities作为soft targets
KD的训练过程为什么更有效?
softmax层的输出，除了正例之外，负标签也带有大量的信息，比如某些负标签对应的概率远远大于其他负标签。而在传统的训练过程(hard target)中，所有负标签都被统一对待。也就是说，KD的训练方式使得每个样本给Net-S带来的信息量大于传统的训练方式。
【举个例子】
在手写体数字识别任务MNIST中，输出类别有10个。
假设某个输入的“2”更加形似"3"，softmax的输出值中"3"对应的概率为0.1，而其他负标签对应的值都很小，而另一个"2"更加形似"7"，"7"对应的概率为0.1。这两个"2"对应的hard target的值是相同的，但是它们的soft target却是不同的，由此我们可见soft target蕴含着比hard target多的信息。并且soft target分布的熵相对高时，其soft target蕴含的知识就更丰富。
这就解释了为什么通过蒸馏的方法训练出的Net-S相比使用完全相同的模型结构和训练数据只使用hard target的训练方法得到的模型，拥有更好的泛化能力。
2.3. softmax函数
先回顾一下原始的softmax函数:
q_{i}=\frac{\exp \left(z_{i}\right)}{\sum_{j} \exp \left(z_{j} \right)}
但要是直接使用softmax层的输出值作为soft target, 这又会带来一个问题: 当softmax输出的概率分布熵相对较小时，负标签的值都很接近0，对损失函数的贡献非常小，小到可以忽略不计。因此"温度"这个变量就派上了用场。
下面的公式时加了温度这个变量之后的softmax函数:
q_{i}=\frac{\exp \left(z_{i} / T\right)}{\sum_{j} \exp \left(z_{j} / T\right)}
- 这里的T就是温度。
- 原来的softmax函数是T = 1的特例。 T越高，softmax的output probability distribution越趋于平滑，其分布的熵越大，负标签携带的信息会被相对地放大，模型训练将更加关注负标签。
3. 知识蒸馏的具体方法
3.1. 通用的知识蒸馏方法
- 第一步是训练Net-T；第二步是在高温T下，蒸馏Net-T的知识到Net-S
训练Net-T的过程很简单，下面详细讲讲第二步:高温蒸馏的过程。高温蒸馏过程的目标函数由distill loss(对应soft target)和student loss(对应hard target)加权得到。示意图如上。
L=\alpha L_{soft}+\beta L_{hard}
- v_i: Net-T的logits
- z_i: Net-S的logits
- p^T_i: Net-T的在温度=T下的softmax输出在第i类上的值
- q^T_i: Net-S的在温度=T下的softmax输出在第i类上的值
- c_i: 在第i类上的ground truth值, c_i\in\{0,1\}, 正标签取1，负标签取0.
- N: 总标签数量
- Net-T 和 Net-S同时输入 transfer set (这里可以直接复用训练Net-T用到的training set), 用Net-T产生的softmax distribution (with high temperature) 来作为soft target，Net-S在相同温度T条件下的softmax输出和soft target的cross entropy就是Loss函数的第一部分 L_{soft}
L_{soft}=-\sum_j^N p^T_j\log(q^T_j) ，其中 p^T_i=\frac{\exp(v_i/T)}{\sum_k^N \exp(v_k/T)} , q^T_i=\frac{\exp(z_i/T)}{\sum_k^N \exp(z_k/T)}
- Net-S在T=1的条件下的softmax输出和ground truth的cross entropy就是Loss函数的第二部分 L_{hard} 。
L_{hard}=-\sum_j^N c_j\log(q^1_j) ，其中 q^1_i=\frac{\exp(z_i)}{\sum_k^N \exp(z_k)}
- 第二部分Loss L_{hard} 的必要性其实很好理解: Net-T也有一定的错误率，使用ground truth可以有效降低错误被传播给Net-S的可能。打个比方，老师虽然学识远远超过学生，但是他仍然有出错的可能，而这时候如果学生在老师的教授之外，可以同时参考到标准答案，就可以有效地降低被老师偶尔的错误“带偏”的可能性。
【讨论】
- 实验发现第二部分所占比重比较小的时候，能产生最好的结果，这是一个经验的结论。一个可能的原因是，由于soft target产生的gradient与hard target产生的gradient之间有与 T 相关的比值。原论文中只是一笔带过，我在下面补充了一些简单的推导。(ps. 下面推导可能有些错误，如果有读者能够正确推出来请私信我～)
- Soft Target: L_{soft}
L_{soft}=-\sum_j^N p^T_j\log(q^T_j)=-\sum_j^N \frac{z_j/T\times\exp(v_j/T)}{\sum_k^N \exp(v_k/T)}\left(\frac{1}{\sum_k^N \exp(z_k/T)}-\frac{\exp (z_j / T) }{\left( \sum_k^N \exp(z_k/ T)\right) ^ 2}\right)
\approx -\frac{1}{T\sum_k^N \exp(v_k/T)}\left(\frac{\sum_j^Nz_j\exp(v_j/T)}{\sum_k^N \exp(z_k/T)}-\frac{\sum_j^N z_j\exp (z_j/ T)\exp(v_j/T) }{\left( \sum_k^N \exp(z_k / T)\right) ^ 2} \right)
- Hard Target: L_{hard}
L_{hard}=-\sum_j^N c_j\log(q^1_j)=-\left(\frac{\sum_j^N c_jz_j }{ \sum_k^N \exp(z_k )}-\frac{\sum_j^N c_jz_j\exp (z_j) }{\left( \sum_k^N \exp(z_k)\right) ^ 2} \right)
- 由于 \frac{\partial L_{soft}}{\partial z_i}的magnitude大约是 \frac{\partial L_{hard}}{\partial z_i} 的 \frac{1}{T^2} ，因此在同时使用soft target和hard target的时候，需要在soft target之前乘上T^{2}的系数，这样才能保证soft target和hard target贡献的梯度量基本一致。
【注意】 在Net-S训练完毕后，做inference时其softmax的温度T要恢复到1.
3.2. 一种特殊情形: 直接match logits(不经过softmax)
直接match logits指的是，直接使用softmax层的输入logits（而不是输出）作为soft targets，需要最小化的目标函数是Net-T和Net-S的logits之间的平方差。
直接上结论: 直接match logits的做法是 T \rightarrow \infty 的情况下的特殊情形。
由单个case贡献的loss，推算出对应在Net-S每个logit z_i 上的gradient:
\frac{\partial L_{soft}}{\partial z_{i}}=\frac{1}{T}\left(q_{i}-p_{i}\right)=\frac{1}{T}\left(\frac{e^{z_{i} / T}}{\sum_{j} e^{z_{j} / T}}-\frac{e^{v_{i} / T}}{\sum_{j} e^{v_{j} / T}}\right)
当 T \rightarrow \infty 时，我们使用 1+x/T 来近似 e^{x/T} ，于是得到
\frac{\partial L_{soft}}{\partial z_{i}} \approx \frac{1}{T}\left(\frac{1+z_{i} / T}{N+\sum_{j} z_{j} / T}-\frac{1+v_{i} / T}{N+\sum_{j} v_{j} / T}\right)
如果再加上logits是零均值的假设
\sum_{j} z_{j}=\sum_{j} v_{j}=0
那么上面的公式可以简化成
\frac{\partial L_{soft}}{\partial z_{i}} \approx \frac{1}{N T^{2}}\left(z_{i}-v_{i}\right)
也就是等价于minimise下面的损失函数
L_{soft}'=1 / 2\left(z_{i}-v_{i}\right)^{2}
4. 关于"温度"的讨论
【问题】 我们都知道“蒸馏”需要在高温下进行，那么这个“蒸馏”的温度代表了什么，又是如何选取合适的温度？
4.1. 温度的特点
在回答这个问题之前，先讨论一下温度T的特点
- 原始的softmax函数是 T=1 时的特例， T<1 时，概率分布比原始更“陡峭”， T>1 时，概率分布比原始更“平缓”。
- 温度越高，softmax上各个值的分布就越平均（思考极端情况: (i) T=\infty , 此时softmax的值是平均分布的；(ii) T\rightarrow0，此时softmax的值就相当于 argmax , 即最大的概率处的值趋近于1，而其他值趋近于0）
- 不管温度T怎么取值，Soft target都有忽略相对较小的 p_i 携带的信息的倾向
4.2. 温度代表了什么，如何选取合适的温度？
温度的高低改变的是Net-S训练过程中对负标签的关注程度: 温度较低时，对负标签的关注，尤其是那些显著低于平均值的负标签的关注较少；而温度较高时，负标签相关的值会相对增大，Net-S会相对多地关注到负标签。
实际上，负标签中包含一定的信息，尤其是那些值显著高于平均值的负标签。但由于Net-T的训练过程决定了负标签部分比较noisy，并且负标签的值越低，其信息就越不可靠。因此温度的选取比较empirical，本质上就是在下面两件事之中取舍:
- 从有部分信息量的负标签中学习 --> 温度要高一些
- 防止受负标签中噪声的影响 -->温度要低一些
总的来说，T的选择和Net-S的大小有关，Net-S参数量比较小的时候，相对比较低的温度就可以了（因为参数量小的模型不能capture all knowledge，所以可以适当忽略掉一些负标签的信息）
5. 参考
- 深度压缩之蒸馏模型 - 风雨兼程的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24337627
- 知识蒸馏Knowledge Distillation - 船长的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/83456418
- https://towardsdatascience.com/knowledge-distillation-simplified-dd4973dbc764
https://nervanasystems.github.io/distiller/knowledge_distillation.html
