两个向量的叉乘为什么是面积？

二维叉积一图搞定即可

对于三维叉积，考虑其定义 \begin{bmatrix}u_1\\u_2 \\ u_3\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}v_1\\v_2 \\ v_3\end{bmatrix}=\det(\begin{bmatrix} \hat{i} & u_1 & v_1 \\\hat{j} & u_2 & v_2\\\hat{k} & u_3 & v_3 \end{bmatrix})\\ 不难发现对于未知向量 \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} ， f(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix})=\det(\begin{bmatrix} x & u_1 & v_1 \\y & u_2 & v_2\\z & u_3 & v_3 \end{bmatrix}) 在 \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} 为自变量时是线性的，于是我们也就可以将 f(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}) 看作是一个从三维到一维（实直线）的线性变换。

那么我们就可以假设 \begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\det(\begin{bmatrix} x & u_1 & v_1 \\y & u_2 & v_2\\z & u_3 & v_3 \end{bmatrix})\\ 也就是 \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\det(\begin{bmatrix} x & u_1 & v_1 \\y & u_2 & v_2\\z & u_3 & v_3 \end{bmatrix})\tag{1} 由点积几何意义（投影相乘）和 \det(\begin{bmatrix} x & u_1 & v_1 \\y & u_2 & v_2\\z & u_3 & v_3 \end{bmatrix}) 几何意义（三个向量围成的平行六面体的有向体积或者说 \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} 到过原点的与另外两个向量张成的平面垂直的直线的投影的有向长度乘以另外两个向量构成的平行四边形有向面积），显然 \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} 的模长为两个向量构成的平行四边形有向面积，垂直于另外两个向量张成的平面且其方向满足右手定则。

同时由 (1) 不难得出 a_1x+a_2y+a_3z=x(u_2v_3-u_3v_2)+y(u_3v_1-u_1v_3)+z(u_1v_2-v_2u_1)\\ 于是有 \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-v_2u_1\end{bmatrix}\\ 至于把 x,y,z 换成向量无非就是表示叉积的结果是向量而已。

请看下面链接（其中包括向量的点乘和叉乘的定义）：