圆上任选三点组成三角形，这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少？

问题可以等价于：

任取三角形，圆心落在三角形内、外、边上的概率各是多少

这三种情况分别对应锐角、钝角、直角。

然后这就变成了三蓝一棕的一道题

在这样的情况下，可以变成：

任取P1、P2点的情况下，P3有多大的概率使得三角形包含圆心。

它给出了一个只需要用几何直觉的、数学表述上不严格的证明：

只有当P3落在浅蓝色、P1P2弧长与圆心的对称位置，才能使得圆心落入三角形。

因为对称弧长其实就是P1P2的弧长

所以问题最后变为：任取P1P2，其弧长期望值是多少？显然弧长不能长于半个周长，不能小于0

那么答案显然就是四分之一的圆周长，概率就是圆上任取一个点，落进这个区域的概率，四分之一

这个视频在：【官方双语】如何优雅地解答最难数学竞赛的压轴题？_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili

取极坐标下单位圆。

取A点。不失一般性，设A点所处角度为0。

取B点，

B点角度 t 在(-pi, pi]的范围内均匀分布。

即B点处于(T, T+dt)中的概率为dt / 2pi

取C点，討論B点角度 t

t＞0，则C在(-pi, t-pi)的范围内时，ABC为锐角。

t＜0，则C在(pi+t, pi)的范围内时，ABC为鋭角。

以上两个事件概率都为 |t| / 2pi

最后要求的是：|t| dt / (2 pi)^2 对 t 从 -pi 至 pi 积分

答案是 1/4