LeetCode动态规划篇：70.爬楼梯
一、题目
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入：2
输出：2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：
输入：3
输出：3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
二、题解
从题意可以看出，是求爬了 n 个台阶到达楼顶后一共有多少种爬法，而我们每上一个台阶时，一次可以爬 1 个台阶或者 2 个台阶。
当我们位于某一个台阶时，我们有两种爬法，爬 1 个台阶或者 2 个台阶。即假设我们到达第 n 个台阶时，我们可能是从第 n-1 台阶或者第 n-2 台阶爬上来的。
2.1 递归
根据以上分析，我们可以得到如下公式：
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
时间复杂度O(2^n
空间复杂度：O(n)
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n<=2:
return n
return self.climbStairs(n-1)+self.climbStairs(n-2)
2.2 记忆化递归
以上的递归肯定超时，所以我们使用记忆化递归优化。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
def dfs(i, memo):
if i<=2:
return i
if memo[i] == 0:
memo[i] = dfs(i-1,memo)+dfs(i-2,memo)
return memo[i]
return dfs(n,[0]*(n+1))
2.3 动态规划
定义数组元素的含义
dp[i]：代表爬上第 i 个台阶总共有 dp[i] 种爬法； 所以，dp[n] 即是爬上第 n 个台阶的爬法。 找出数组元素间的关系式
从递归的解法可以看出，我们可以把一个大规模问题分成几个小规模问题，然后由小的问题推导出大的问题；
因为到达第 n 级的台阶有两种方式：一种是从第 n-1 级跳上来，另一种是从第 n-2 级跳上来；
所以：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。
找出初始值
当 n=1 时，dp[1]=dp[0]+dp[-1]，不允许下标为-1，所以使用 dp[0] 和 dp[-1] 作为初始值不合适。
如果定义初始值 dp[0]=0，dp[1]=1，当 n=2 时，dp[2]=dp[1]+dp[0]=1，但实际上 n=2 时有 2 种爬法，即 dp[2]=2，所以以上初始值定义不严谨。
所以，我们定义初始值 dp[1]=1，dp[2]=2，循环从 3 开始。当然，你也可以定义 dp[0]=1，dp[1]=1，然后循环从 2 开始。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n<=2:
return n
dp=(n+1)*[0]
dp[1]=1
dp[2]=2
for i in range(3,n+1):
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
return dp[n]
2.4 动态规划优化
因为动态规划解法时使用了数组，空间复杂度为 O(n)，我们可以通过两个变量将空间复杂度降为 O(1)。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
if n<=2:
return n
dp1=1
dp2=2
for i in range(3,n+1):
dp1,dp2=dp2,dp1+dp2
return dp2
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