LeetCode动态规划篇：63.不同路径 II
一、题目
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii/
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
说明：m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入:
[
[0,0,0],
[0,1,0],
[0,0,0]
]
输出: 2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
二、题解
2.1 动态规划
定义数组元素的含义
dp[i][j]：从左上角走到 (i,j) 这个位置时，一共有 dp[i][j] 种路径；
找到数组的递推关系式
根据对数组的定义，我们要求出图中每个位置的 dp[i][j]，因为机器人每次只能向下走或者向右走，所以 dp[i][j] 可以是 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 这两个位置过来的，所以 dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]。但需要注意的是，因为现在有障碍物了，所以以上适用于没有障碍物的时候。
找到初始值
当 dp[i][j] 中，如果 i 或者 j 任意一个为 0 时，上述递推关系还成立吗？
当 i 或者 j 任意一个为 0 时，i - 1 和 j - 1 会变成负数。
dp[0][0]=1，第一个格子肯定如果有障碍物，那直接没法走了。
让我们来看第一行，其实第一行只能一直往右走，同时在没有遇到障碍物的情况下，dp[0][j]=dp[0][j-1]。
让我们来看左边第一列，其实第一列只能一直往下走，同时在没有遇到障碍物的情况下，dp[i][0]=dp[i-1][0]。
时间复杂度：O(m*n)
空间复杂度：O(m*n)，使用dp数组保存结果
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
if not obstacleGrid:
return 0
if obstacleGrid[0][0]==1 or obstacleGrid[-1][-1] == 1:
return 0
m=len(obstacleGrid)
n=len(obstacleGrid[0])
dp=[n*[0] for _ in range(m)]
dp[0][0]=1
for i in range(1,m):
if obstacleGrid[i][0] !=1:
dp[i][0]=dp[i-1][0]
for i in range(1,n):
if obstacleGrid[0][i] !=1:
dp[0][i]=dp[0][i-1]
for i in range(1,m):
for j in range(1,n):
if obstacleGrid[i][j] != 1:
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
return dp[-1][-1]
2.2 动态规划优化
我们将上述的递推关系优化一下：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
转化为一维度：
dp[j] = dp[j] + dp[i-1]，dp[j] 相当于 pre[j]，pre[j] = dp[i-1][j]。
时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(n)
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
m,n=len(obstacleGrid),len(obstacleGrid[0])
if not obstacleGrid:
return 0
if obstacleGrid[0][0]==1 or obstacleGrid[m-1][n-1]==1:
return 0
dp=n*[0]
dp[0]=1
for i in range(m):
for j in range(n):
if obstacleGrid[i][j] == 1:
dp[j]=0
continue
if j>=1:
dp[j]=dp[j-1]+dp[j]
return dp[n-1]
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