比特币中的密码学 1 ：有限域

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今天开始，飞猪和大家共同学习比特币中的密码学，希望飞猪每月可以更新一篇干货，写作原材料是咖啡，希望大家可以打赏一杯。第一节，是纯数学定义，有限域，可能稍有枯燥，但相信我，大家认真看一定可以看懂，我们慢慢来，都会成为令人敬畏的密码学大咖。

有限域定义

有限域（有限体，伽瓦罗域，Infinite Field）为一组有限的数的集合，在其内进行加减乘除所得结果不会脱离该集合。

一个域在这本书我们记为 GF(p)，p 是集合内元素的数量，也就是我们所说的集合的阶。比如一个包括了 0，1，-1 三个元素的域我们记为 GF（3） = {-1,0,1}。域 {-1,0,1} 在正常乘法下是封闭的。任何两个数做加和乘的运算，结果总是在集合中。一个包含 {0,1,2} 的集合在加法下是不封闭的，因为 1+2=3，3 不在集合中；2+2=4也不在集合中。当然，我们可以用不同的方式定义加法来使之生效，但使用"正常的"加法，这个集合是不封闭的。没错，我们可以用不同于你所熟悉的加法和减法的方式定义加法和减法。我们可以用特殊的方式定义乘法，使这些集合封闭。

为什么只有加法和乘法呢？利用加法逆，我们可以定义减法。利用乘法的逆运算，我们可以定义除法。

运算

GF(p)中的四则运算都是基于取模运算的，那么什么是取模运算呢？它其实就是我们小学学过的带余除法的余数，例如：12除以7商为1，余数为5，记作12 % 7 = 5，取模运算将不会考虑商而仅仅得到余数作为结果。

GF(p)中的加、减、乘法都比较简单并且类似。它们其实就是我们生活使用的加、减、乘法再对元素个数p取模。

加法

取模解决了传统加法和乘法难以有限的问题，把加法和乘法限制在了元素个数的循环之中。现实生活中时间的表示方法就是一个很好的例子。12点之后47小时，我们不会说他是59点，我们还是会说它是11点，其实就是做了取模的运算。