零知识证明 - libsnark源代码分析

原创 Star Li 星想法

最近一个月发生好多事情。原有的合作关系的结束，新的合作关系的开始。创业变化就是快。期间，我也自己问自己，自己该何去何从？彷徨，犹豫，对未知的未来，我也不确定。但是，内心有种强烈的感觉，告诉自己，有想法，就去干，保持好奇。也许，内心深处，总有一丝侥幸，万一能走出一条路呢。也许，真的就成了呢？

libsnark源代码，建议想深入零知识证明的小伙伴都读一读。Bellman库主要围绕Groth16算法，libsnark给出了SNARK相关算法的全貌，各种Relation，Language，Proof System。为了更好的生成R1CS电路，libsnark抽象出protoboard和gadget，方便开发者快速搭建电路。

本文中使用的libsnark源代码的最后一个commit如下：

commit 477c9dfd07b280e42369f82f89c08416319e24ae
Author: Madars Virza <madars@mit.edu>
Date:   Tue Jun 18 18:43:12 2019 -0400

    Document that we also implement the Groth16 proof system.

源代码目录

源代码在libsnark目录下：

common - 定义和实现了一些通用的数据结构，例如默克尔树，稀疏向量等等。

relations - relation描述了“约束”关系。除了我们通常说的R1CS外，还有很多其他约束的描述语言。

reductions - 各种不同描述语言之间的转化。

knowledge_commit - 在multiexp的基础上，引入pair的概念，两个基点一个系数，计算结果称为一个pair。

zk_proof_systems - 零知识证明中的各种证明系统（包括Groth16，GM17等等）。

gadgetlib1/gadgetlib2 - 为了更方便的构建R1CS，libsnark抽象出一层gadget。已有的gadget，可以方便地整合搭建出新的电路。

Relation

需要零知识证明的问题都是NP问题。NP问题中有一类问题NPC（NP-complete）问题。所有的NP问题都可以转化为一个NPC问题。只要有一个NPC问题能多项式时间内解决，所有的NP问题都能多项式时间内解决。描述一个NPC问题，有多种方式。描述NPC问题的方式，称为“language”。Relation指的是一个NPC问题和该问题的解的关系。

libsnark库总结了几种描述语言：

constraint satisfaction problem类

R1CS - Rank-1 Constraint System
USCS - Unitary-Square Constraint System

circuit satisfaction problem类

BACS - Bilinear Arithmetic Circuit Satisfiability
TBCS - Two-input Boolean Circuit Satisfiability

ram computation类
RAM是Random Access Machine的缩写。libsnark总结了两种RAM计算框架：

tinyRAM
fooRAM

arithmetic program类

QAP - Quadratic Arithmetic Program（GGPR13）
SAP - Square Arithmetic Program（GM17）
SSP - Square Span Program (DFGK14)

先介绍实现各种语言中需要的“variable” （variable.hpp/variable.tcc)，再详细介绍R1CS以及QAP语言。

2.1 variable

 template<typename FieldT>
 class variable {
 public:
     var_index_t index;
     ...
 };

varible的定义非常简单，描述一个variable，只需要记录一个varible对应的标号就行了。比如对应编号为index的variable，表示的是x_{index}变量。

2.2 linear_term

linear_term描述了一个线性组合中的一项。线性组合中的一项由变量以及对应的系数组成：

template<typename FieldT>
 class linear_term {
 public:
     var_index_t index;
     FieldT coeff;
     ...
 };

2.3 linear_combination

linear_combination描述了一个完整的线性组合。一个linear combination由多个linear term组成：

 template<typename FieldT>
 class linear_combination {
 public:
     std::vector<linear_term<FieldT> > terms;
     ...
 };

2.4 R1CS

R1CS定义在constraint_satisfaction_problems/r1cs/r1cs.hpp。R1CS约束就是满足以下形式的一个表达式：

< A , X > * < B , X > = < C , X >

X是所有变量组合的向量，A/B/C是和X等长的向量。<,>代表的是点乘。一个R1CS系统由多个R1CS约束组成。

R1CS约束定义为：

 template<typename FieldT>
 class r1cs_constraint {
 public:
     linear_combination<FieldT> a, b, c;
     ...
 };

一个R1CS约束，可以由a/b/c三个linear_combination表示。一个R1CS系统中的所有变量的赋值，又分成两部分：primary input和auxiliary input。primary就是"statement", auxiliary就是“witness”。

 template<typename FieldT>
 using r1cs_primary_input = std::vector<FieldT>;
 template<typename FieldT>
 using r1cs_auxiliary_input = std::vector<FieldT>;

一个R1CS系统，包括多个R1CS约束。当然，每个约束的向量的长度是固定的（primary input size + auxiliary input size + 1）。

 template<typename FieldT>
 class r1cs_constraint_system {
 public:
     size_t primary_input_size;
     size_t auxiliary_input_size;
     std::vector<r1cs_constraint<FieldT> > constraints;
     ...
}

2.5 QAP

QAP定义在arithmetic_programs/qap/qap.hpp。libsnark采用的QAP的公式是：A*B-C=H*Z。

 template<typename FieldT>
 class qap_instance {
 private:
     size_t num_variables_;
     size_t degree_;
     size_t num_inputs_;
 public:
     std::shared_ptr<libfqfft::evaluation_domain<FieldT> > domain;
     std::vector<std::map<size_t, FieldT> > A_in_Lagrange_basis;
     std::vector<std::map<size_t, FieldT> > B_in_Lagrange_basis;
     std::vector<std::map<size_t, FieldT> > C_in_Lagrange_basis;
}

num_variables_表示QAP电路的变量的个数。num_inputs_表示QAP电路的"statement"对应变量的个数。degree_表示A/B/C中每个多项式的阶的个数（和电路的门的个数相关）。

domain是计算傅立叶变换/反傅立叶变换的引擎，由libfqfft库实现。

何为Lagrange basis？

给定一系列的x和y的对应关系，通过拉格朗日插值的方式，可以确定多项式： p(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x) + ... + y_nl_n(x) 其中l_0(x), l_1(x), ... l_n(x)就称为拉格朗日basis。

A_in_Lagrange_basis/B_in_Lagrange_basis/C_in_Lagrange_basis把一个电路中每个变量不同门的值整理在一起。举个例子，如下是x^3+x+5的电路对应的R1CS的约束：

该电路对应的A_in_Lagrange_basis/B_in_Lagrange_basis/C_in_Lagrange_basis为：

qap_instance描述的是一个QAP电路，A/B/C对应的多项式表达式（虽然是用Lagrange basis表示）。A/B/C多项式在一个点上的结果，用qap_instance_evaluation表示：

 template<typename FieldT>
 class qap_instance_evaluation {
 private:
     size_t num_variables_;
     size_t degree_;
     size_t num_inputs_;
 public:
     std::shared_ptr<libfqfft::evaluation_domain<FieldT> > domain;
     FieldT t;
     std::vector<FieldT> At, Bt, Ct, Ht;
     FieldT Zt;
     ...
}

qap_instance_evaluation，记录了在t点上，A/B/C/H以及Z对应的值。

一个QAP电路，对应的primary/auxiliary，称为witness，定义为：

 template<typename FieldT>
 class qap_witness {
 private:
     size_t num_variables_;
     size_t degree_;
     size_t num_inputs_;
 public:
     FieldT d1, d2, d3;
     std::vector<FieldT> coefficients_for_ABCs;
     std::vector<FieldT> coefficients_for_H;
     ...
}

coefficients_for_ABCs就是witness。为了计算的方便，同时给出了对应的H多项式的系数。在给定一个qap_instance_evaluation和一个qap_witness的前提下，可以通过is_satisfied函数确定，是否witness合理：


 template<typename FieldT>
 bool qap_instance_evaluation<FieldT>::is_satisfied(const qap_witness<FieldT> &witness) const
 {
 ...
      ans_A = ans_A + libff::inner_product<FieldT>(this->At.begin()+1,
                                                  this->At.begin()+1+this->num_variables(),witness.coefficients_for_ABCs.begin(),witness.coefficients_for_ABCs.begin()+this->num_variables());
     ans_B = ans_B + libff::inner_product<FieldT>(this->Bt.begin()+1,
                                                  this->Bt.begin()+1+this->num_variables(),witness.coefficients_for_ABCs.begin(),witness.coefficients_for_ABCs.begin()+this->num_variables());
     ans_C = ans_C + libff::inner_product<FieldT>(this->Ct.begin()+1,
                                                  this->Ct.begin()+1+this->num_variables(),witness.coefficients_for_ABCs.begin(),witness.coefficients_for_ABCs.begin()+this->num_variables());
     ans_H = ans_H + libff::inner_product<FieldT>(this->Ht.begin(),
                                                  this->Ht.begin()+this->degree()+1,
                                                  witness.coefficients_for_H.begin(),
                                                  witness.coefficients_for_H.begin()+this->degree()+1);
 
     if (ans_A * ans_B - ans_C != ans_H * this->Zt)
     {
         return false;
     }
...
}

检查一个witness是否正确，就是计算wA*wB-w*C = HZ是否相等。

Reduction

Reduction实现了不同描述语言之间的转化。libsnark给出了如下一系列的转化实现：

bacs -> r1cs
r1cs -> qap
r1cs -> sap
ram -> r1cs
tbcs -> uscs
uscs -> ssp

以r1cs->qap为例，梳理一下Reduction的逻辑。从R1CS到QAP的转化逻辑在reductions/r1cs_to_qap/目录中，定义了三个函数：

3.1 r1cs_to_qap_instance_map

r1cs_to_qap_instance_map函数实现了从一个R1CS实例到QAP instance的转化。转化过程比较简单，就是将系数重新整理的过程（可以查看2.5中的QAP的描述）。

3.2 r1cs_to_qap_instance_map_with_evaluation

r1cs_to_qap_instance_map_with_evaluation函数实现了从一个R1CS实例到qap_instance_evaluation的转化。给定t，计算A/B/C以及H/Z。

3.3 r1cs_to_qap_witness_map

r1cs_to_qap_witness_map函数实现了从一个R1CS实例到qap_witness的转化。

 template<typename FieldT>
 qap_witness<FieldT> r1cs_to_qap_witness_map(const r1cs_constraint_system<FieldT> &cs,
                                             const r1cs_primary_input<FieldT> &primary_input,
                                             const r1cs_auxiliary_input<FieldT> &auxiliary_input,
                                             const FieldT &d1,
                                             const FieldT &d2,
                                             const FieldT &d3)

在给定primary/auxiliary input的基础上，计算出witness（A/B/C以及H的系数）。d1/d2/d3在计算H系数提供扩展能力。Groth16计算的时候，d1/d2/d3取值都为0。给定primary/auxiliary input，A/B/C的系数比较简单，就是primary/auxiliary input的简单拼接后的结果。

     r1cs_variable_assignment<FieldT> full_variable_assignment = primary_input;
     full_variable_assignment.insert(full_variable_assignment.end(), auxiliary_input.begin(), auxiliary_input.end());

H多项式系数的计算相对复杂一些，涉及到傅立叶变换/反傅立叶变换。H多项式的计算公式计算如下： H(z) := (A(z)*B(z)-C(z))/Z(z)

其中，A(z) := A_0(z) + w_1 A_1(z) + ... + w_m A_m(z) + d1 * Z(z)，B(z) := B_0(z) + w_1 B_1(z) + ... + w_m B_m(z) + d2 * Z(z)，C(z) := C_0(z) + w_1 C_1(z) + ... + w_m C_m(z) + d3 * Z(z), Z(z) = (z-sigma_1)(z-sigma_2)...(z-sigma_n)（m是QAP电路中变量的个数，n是QAP电路门的个数）。特别强调的是，A(z)/B(z)/C(z) 是多个多项式的和，并不是每个变量对应的多项式。

1/ 确定A和B的多项式（通过反傅立叶变换）

     for (size_t i = 0; i < cs.num_constraints(); ++i)
     {
         aA[i] += cs.constraints[i].a.evaluate(full_variable_assignment);
         aB[i] += cs.constraints[i].b.evaluate(full_variable_assignment);
     }
     domain->iFFT(aA);
     domain->iFFT(aB);

2/ 计算A和B，对应FieldT::multiplicative_generator的计算结果

domain->cosetFFT(aA, FieldT::multiplicative_generator);
domain->cosetFFT(aB, FieldT::multiplicative_generator);

3/ 确定C的多项式（通过反傅立叶变换）

     for (size_t i = 0; i < cs.num_constraints(); ++i)
     {
         aC[i] += cs.constraints[i].c.evaluate(full_variable_assignment);
     }
     domain->iFFT(aC);

4/ 计算C，对应FieldT::multiplicative_generator的计算结果

domain->cosetFFT(aC, FieldT::multiplicative_generator);

5/ 计算H，对应FieldT::multiplicative_generator的计算结果

     for (size_t i = 0; i < domain->m; ++i)
     {
         H_tmp[i] = aA[i]*aB[i];
     }
     for (size_t i = 0; i < domain->m; ++i)
     {
         H_tmp[i] = (H_tmp[i]-aC[i]);
     }
     domain->divide_by_Z_on_coset(H_tmp);

6/ 计算H多项式的系数（反傅立叶变换）

domain->icosetFFT(H_tmp, FieldT::multiplicative_generator);

ZK Proof System

libsnark提供了四种证明系统：

pcd (Proof-Carrying Data)
ppzkadsnark (PreProcessing Zero-Knowledge Succinct Non-interactive ARgument of Knowledge Over Authenticated Data)
ppzksnark (PreProcessing Zero-Knowledge Succinct Non-interactive ARgument of Knowledge)
zksnark (Zero-Knowledge Succinct Non-interactive ARgument of Knowledge)

著名的Groth16算法，属于ppzksnark。因为Groth16在证明之前，需要预处理生成CRS。ppzksnark证明系统又可以细分成好几种：

其中：

r1cs_gg_ppzksnark，gg代表General Group，就是Groth16算法。

r1cs_se_ppzksnark，se代表Simulation Extractable，就是GM17算法。

r1cs_ppzksnark，就是PGHR13算法。

以Groth16算法（r1cs_gg_ppzksnark）为例，梳理一下相关的逻辑。Groth16算法的相关逻辑在zk_proof_systems/ppzksnark/r1cs_gg_ppzksnark目录中。

4.1 r1cs_gg_ppzksnark_proving_key

r1cs_gg_ppzksnark_proving_key记录了CRS中在prove过程需要的信息。

 template<typename ppT>
 class r1cs_gg_ppzksnark_proving_key {
 public:
     libff::G1<ppT> alpha_g1;
     libff::G1<ppT> beta_g1;
     libff::G2<ppT> beta_g2;
     libff::G1<ppT> delta_g1;
     libff::G2<ppT> delta_g2;
 
     libff::G1_vector<ppT> A_query;
     knowledge_commitment_vector<libff::G2<ppT>, libff::G1<ppT> > B_query;
     libff::G1_vector<ppT> H_query;
     libff::G1_vector<ppT> L_query;
 
     r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system<ppT> constraint_system;
     ...
}

A_query是A(t)以G1生成元的multiexp的计算结果。

B_query是B(t)以G1/G2生成元的multiexp的计算结果。

H_query是如下的计算以G1位生成元的multiexp的计算结果：

H(t)*Z(t)/delta

L_query是如下的计算在G1位生成元的multiexp的计算结果：

(beta*A(t)+alpha*B(t)+C(t))/delta

也就是说，r1cs_gg_ppzksnark_proving_key给出了Groth16算法中CRS的如下信息（用蓝色圈出）

r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system<ppT>定义在zk_proof_systems/ppzksnark/r1cs_gg_ppzksnark/r1cs_gg_ppzksnark_params.hpp文件中。

 template<typename ppT>
 using r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system = r1cs_constraint_system<libff::Fr<ppT> >;

也就是说，r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system就是r1cs_constraint_system。

4.2 r1cs_gg_ppzksnark_verification_key

r1cs_gg_ppzksnark_verification_key记录了CRS中在verify过程需要的信息。

 template<typename ppT>
 class r1cs_gg_ppzksnark_verification_key {
 public:
     libff::GT<ppT> alpha_g1_beta_g2;
     libff::G2<ppT> gamma_g2;
     libff::G2<ppT> delta_g2;
 
     accumulation_vector<libff::G1<ppT> > gamma_ABC_g1;
     ...
}

也就是说，r1cs_gg_ppzksnark_verification_key给出了Groth16算法中CRS的如下信息（用蓝色圈出）

4.3 r1cs_gg_ppzksnark_processed_verification_key

r1cs_gg_ppzksnark_processed_verification_key和r1cs_gg_ppzksnark_verification_key类似。“processed"意味着verification key会做进一步处理，验证的过程会更快。

 template<typename ppT>
 class r1cs_gg_ppzksnark_processed_verification_key {
 public:
     libff::GT<ppT> vk_alpha_g1_beta_g2;
     libff::G2_precomp<ppT> vk_gamma_g2_precomp;
     libff::G2_precomp<ppT> vk_delta_g2_precomp;
 
     accumulation_vector<libff::G1<ppT> > gamma_ABC_g1;
     ...
}

4.4 r1cs_gg_ppzksnark_keypair

r1cs_gg_ppzksnark_keypair包括两部分：r1cs_gg_ppzksnark_proving_key和r1cs_gg_ppzksnark_verification_key。

 template<typename ppT>
 class r1cs_gg_ppzksnark_keypair {
 public:
     r1cs_gg_ppzksnark_proving_key<ppT> pk;
     r1cs_gg_ppzksnark_verification_key<ppT> vk;
     ...
}

4.5 r1cs_gg_ppzksnark_proof

众所周知，Groth16的算法的证明包括A/B/C三个结果。

 template<typename ppT>
 class r1cs_gg_ppzksnark_proof {
 public:
     libff::G1<ppT> g_A;
     libff::G2<ppT> g_B;
     libff::G1<ppT> g_C;
     ...
}

4.6 r1cs_gg_ppzksnark_generator 给定一个r1cs_constraint_system的基础上，r1cs_gg_ppzksnark_generator能生成r1cs_gg_ppzksnark_keypair，也就是生成CRS信息。

 template<typename ppT>
 r1cs_gg_ppzksnark_keypair<ppT> r1cs_gg_ppzksnark_generator(const r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system<ppT> &cs);

4.7 r1cs_gg_ppzksnark_prover

给定了proving key以及primary/auxiliary input，计算证明的A/B/C结果。

 template<typename ppT>
 r1cs_gg_ppzksnark_proof<ppT> r1cs_gg_ppzksnark_prover(const r1cs_gg_ppzksnark_proving_key<ppT> &pk,
                                                       const r1cs_gg_ppzksnark_primary_input<ppT> &primary_input,
                                                       const r1cs_gg_ppzksnark_auxiliary_input<ppT> &auxiliary_input);

已知proving key的情况下，计算A/B/C的结果，相当简单：

/* A = alpha + sum_i(a_i*A_i(t)) + r*delta */
libff::G1<ppT> g1_A = pk.alpha_g1 + evaluation_At + r * pk.delta_g1;
/* B = beta + sum_i(a_i*B_i(t)) + s*delta */
libff::G1<ppT> g1_B = pk.beta_g1 + evaluation_Bt.h + s * pk.delta_g1;
libff::G2<ppT> g2_B = pk.beta_g2 + evaluation_Bt.g + s * pk.delta_g2;
/* C = sum_i(a_i*((beta*A_i(t) + alpha*B_i(t) + C_i(t)) + H(t)*Z(t))/delta) + A*s + r*b - r*s*delta */
libff::G1<ppT> g1_C = evaluation_Ht + evaluation_Lt + s *  g1_A + r * g1_B - (r * s) * pk.delta_g1;

4.8 r1cs_gg_ppzksnark_verifier

总共提供了四种验证函数，分成两类：processed/non-processed 和 weak/strong IC。processed/non-processed是指验证的key是否processed？weak/strong IC指的是，是否input consistency？Primary Input的大小和QAP的statement的大小相等，称为strong IC。Primary Input的大小小于QAP的statement的大小，称为weak IC。

以r1cs_gg_ppzksnark_verifier_strong_IC为例，在给定verification key/primary input的基础上，可以验证proof是否正确。

template<typename ppT>
bool r1cs_gg_ppzksnark_verifier_strong_IC(const r1cs_gg_ppzksnark_verification_key<ppT> &vk,const r1cs_gg_ppzksnark_primary_input<ppT> &primary_input,const r1cs_gg_ppzksnark_proof<ppT> &proof);

总的来说，Groth16的证明生成和验证的逻辑如下图：

可以看出，使用ZKSNARK(Groth16)证明，需要先创建一个r1cs_constraint_system。libsnark设计了Gadget的框架，方便搭建r1cs_constraint_system。

Gadget

libsnark提供了两套Gadget库：gadgetlib1和gadgetlib2。libsnark中很多示例是基于gadgetlib1搭建。gadgetlib1也提供了更丰富的gadget。本文也主要讲解gadgetlib1的逻辑。gadgetlib1的相关代码在libsnark/gadgetlib1目录中。

5.1 protoboard

protoboard是r1cs_constraint_system之上的一层封装。通过一个个的Gadget，向r1cs_constraint_system添加约束。为了让不同的Gadget之间采用统一的Variable以及Lc，protoboard通过”next_free_var"以及"next_free_lc“维护所有Gadget创建的Variable以及Lc。

 template<typename FieldT>                                                                          
 class protoboard {                                                                                  
   ...                                                                                        
     FieldT constant_term;                                                                                  
     r1cs_variable_assignment<FieldT> values;
     var_index_t next_free_var;
     lc_index_t next_free_lc;
     std::vector<FieldT> lc_values;                                                                  
     r1cs_constraint_system<FieldT> constraint_system;  
     ...
 }

5.2 pb_variable

libsnark提供了在pb_variable，pb_variable_array，pb_linear_combination和pb_linear_combination_array四个类。这四个类都是variable, linear_combination的封装，为了支持protoboard的管理。

5.3 gadget

gadget的定义非常的简单：

 template<typename FieldT>
 class gadget {
 protected:
     protoboard<FieldT> &pb;
     const std::string annotation_prefix;
 public:
     gadget(protoboard<FieldT> &pb, const std::string &annotation_prefix="");
 };

每一个具体的Gadget逻辑上需要做如下一些事情：

1/ 申请Variable或者Lc （allocate）

2/ 添加Gadget逻辑相关的约束（generate_r1cs_constraints）

3/ 生成相关的Witness（generate_r1cs_witness）

5.4 example

在gadgetlib1/gadgets目录下有很多Gadget的实现: 椭圆曲线计算，各种hash算法，merkle树的计算，配对函数等等。本文以basic gagdet中的两数比较（comparison gadget）为例，说明Gadget的基本逻辑。

comparison_gadget的定义在gadgetlib1/gadgets/basic_gadgets.hpp：

     comparison_gadget(protoboard<FieldT>& pb,                                                      
                       const size_t n,                                                              
                       const pb_linear_combination<FieldT> &A,                                      
                       const pb_linear_combination<FieldT> &B,                                      
                       const pb_variable<FieldT> &less,                                              
                       const pb_variable<FieldT> &less_or_eq,                                        
                       const std::string &annotation_prefix="") :                                    
         gadget<FieldT>(pb, annotation_prefix), n(n), A(A), B(B), less(less), less_or_eq(less_or_eq)
     {                                                                                              
         alpha.allocate(pb, n, FMT(this->annotation_prefix, " alpha"));                              
         alpha.emplace_back(less_or_eq); // alpha[n] is less_or_eq                                  
         alpha_packed.allocate(pb, FMT(this->annotation_prefix, " alpha_packed"));                
         not_all_zeros.allocate(pb, FMT(this->annotation_prefix, " not_all_zeros"));                
         pack_alpha.reset(new packing_gadget<FieldT>(pb, alpha, alpha_packed,                           FMT(this->annotation_prefix, " pack_alpha")));  
         all_zeros_test.reset(new disjunction_gadget<FieldT>(pb,                                    pb_variable_array<FieldT>(alpha.begin(), alpha.begin() + n),not_all_zeros, FMT(this->annotation_prefix, " all_zeros_test")));
     };

comparison_gadget的构造函数比较清晰：在给定两个n位的数A和B，输出两个变量：less和less_or_eq（A是否小于B？）。

构造函数，主要是创建其他变量以及Gadget。 alpha是长度为n+1的变量数组，其中alpha[n]是less or eq。

alpha是2^n+B-A的结果的位的表示。alpha_packed是一个变量，alpha对应的值。也就是，alpha_packed等于2^n+B-A。

not_all_zeros是一个变量，表示B-A的结果是否全是0。

pack_alpha是packing_gadget，将n+1位的alpha打包，计算结果存储在alpha_packed变量中。packing_gadget就是将位表示的数据，变成数值表示。

all_zeros_test是disjunction_gadget，确定alpha的n个变量中是否全0。

comparison_gadget的generate_r1cs_constraints函数负责添加约束。

 template<typename FieldT>
 void comparison_gadget<FieldT>::generate_r1cs_constraints()
 {
     generate_boolean_r1cs_constraint<FieldT>(this->pb, not_all_zeros, FMT(this->annotation_prefix, " not_all_zeros"));              
     pack_alpha->generate_r1cs_constraints(true);                                                    
     this->pb.add_r1cs_constraint(r1cs_constraint<FieldT>(1, (FieldT(2)^n) + B - A, alpha_packed), FMT(this->annotation_prefix, " main_constraint"));
     all_zeros_test->generate_r1cs_constraints();                                                    
     this->pb.add_r1cs_constraint(r1cs_constraint<FieldT>(less_or_eq, not_all_zeros, less),     FMT(this->annotation_prefix, " less"));
 }

a. 对not_all_zeros，添加boolean约束（该变量只能是0或者1）

b. pack_alpha->generate_r1cs_constraints(true) 约束alpha对应的数值等于alpha_packed。

c. 1*(2^n+B-A) = alpah_packed

d. 确定not_all_zeros变量的值和alpha中n个变量中是否为0的结果一致

e. less_or_eq * not_all_zeros = less

整个comparison_gadget的电路逻辑如下图所示：