链接:https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
根据题意可以看出,我们需要把一个正整数拆分为至少两个数,然后使其乘积最大,所以中心思想就是我们应该如何拆分这个正整数。假设正整数为 i,我们现在从 i 中拆出一个 j,所以现在两个数为 j 和 i-j,而对于 i-j这部分有两种情况,一种是不继续拆分,一种是继续对i-j进行拆分。从这里可以看出,拆分过程是可以不断进行拆分的,这种子过程很适合用动态规划来进行求解。
定义数组
定义 dp[i] 代表 i 拆分至少两个正整数后的最大乘积;
递推表达式
i*(i-j) 代表的是将 i 拆分为 j 和 i-j,且不再对 i-j 继续进行拆分;
j×dp[i−j] 代表的是将 i 拆分成 j 和 i-j,且对 i-j 继续拆分,拆分为多个整数,而 dp[i−j] 是在之前的动态规划已经求得的整数 i-j 分割后的最大乘积;
dp[i]=max(dp[i],j*(i-j),j*dp[i-j])
初始值 因为 i 是正整数,0 不是正整数可以排除,1 是正整数但是不能被拆分。所以,dp[i]=1,i=2。
时间复杂度:O(n^2)
空间复杂度:O(n)
Python:
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
dp=[0]*(n+1)
for i in range(2,n+1):
for j in range(1,i):
dp[i]=max(dp[i],j*(i-j),j*dp[i-j])
return dp[n]
Go:
func integerBreak(n int) int {
dp:=make([]int,n+1)
for i:=2;i<=n;i++{
tmp:=0
for j:=1;j<i;j++{
tmp=max(tmp,max(j*(i-j),j*dp[i-j]))
}
dp[i]=tmp
}
return dp[n]
}
func max(x,y int) int{
if x>y{
return x
}
return y
}
因为动态规划的时间复杂度太高了,所以不是很合适的,其实我们可以通过数学的方法来进行优化,接下来我们就一起看看吧,但是数学的证明过程实在太复杂,这里就不具体说了,感兴趣的朋友可以自己网上搜索一下证明过程。
时间复杂度:O(1)
空间复杂度:O(1)
Python:
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
if n<=3:
return n-1
x,y=n//3,n%3
if y==0:
return int(math.pow(3,x))
if y==1:
return int(math.pow(3,x-1)*4)
return int(math.pow(3,x)*2)
Go:
func integerBreak(n int) int {
if n<=3{
return n-1
}
x,y:=n/3,n%3
if y==0{
return int(math.Pow(3,float64(x)))
}
if y==1{
return int(math.Pow(3,float64(x-1))*4)
}
return int(math.Pow(3,float64(x))*2)
}