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LeetCode动态规划篇:338.比特位计数

Chris Chris的算法小记 2021年07月07日 16:00

一、题目

链接:https://leetcode-cn.com/problems/counting-bits/

给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ,计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

示例 1:

输入: 2
输出: [0,1,1]

示例 2:

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
进阶:

给出时间复杂度为O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)内用一趟扫描做到吗?
要求算法的空间复杂度为O(n)。
    
你能进一步完善解法吗?要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数(如 C++ 中的 __builtin_popcount)来执行此操作。

二、题解

2.1 动态规划

  • 定义数组含义

    dp[i] 表示数字 i 在二进制中的 1 的个数;

  • 找出数组递推关系式

    • 当i为奇数时:在二进制中,奇数一定比前面那个偶数多一个 1,因为多的刚好就是最低位的 1,所以奇数的递推关系是:dp[i]=dp[i-1]+1;

    • 当i为偶数时:因为二进制是逢 2 开始进位的,所以当 i 为偶数的时候,这个偶数相当于是另一个数乘以 2,而在二进制运算中就是左移一位,即在低位加来了 1 个 0,所以偶数的递推关系是:dp[i] = dp[i/2];

  • 找到初始值

    当数字为 0 时,其二进制中 1 的个数为 0,dp[0]=0;当数字为 1 时,其二进制中 1 的个数为 1,dp[1]=1。

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(n)

class Solution:
    def countBits(self, num: int) -> List[int]:
        if num == 0:
            return [0]
            
        dp = [0]*(num+1)
        dp[0],dp[1] = 0,1

        for i in range(2,num+1):
            if i%2==0:
                dp[i]=dp[i//2]
            else:
                dp[i]=dp[i-1]+1
        return dp



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