LeetCode动态规划篇：338.比特位计数

一、题目

链接：https://leetcode-cn.com/problems/counting-bits/

给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

示例 1:

输入: 2
输出: [0,1,1]

示例 2:

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
进阶:

给出时间复杂度为O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)内用一趟扫描做到吗？
要求算法的空间复杂度为O(n)。
    
你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount）来执行此操作。

二、题解

2.1 动态规划

• 定义数组含义

  dp[i] 表示数字 i 在二进制中的 1 的个数；

• 找出数组递推关系式

• 当i为奇数时：在二进制中，奇数一定比前面那个偶数多一个 1，因为多的刚好就是最低位的 1，所以奇数的递推关系是：dp[i]=dp[i-1]+1；

• 当i为偶数时：因为二进制是逢 2 开始进位的，所以当 i 为偶数的时候，这个偶数相当于是另一个数乘以 2，而在二进制运算中就是左移一位，即在低位加来了 1 个 0，所以偶数的递推关系是：dp[i] = dp[i/2]；

• 找到初始值

  当数字为 0 时，其二进制中 1 的个数为 0，dp[0]=0；当数字为 1 时，其二进制中 1 的个数为 1，dp[1]=1。

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)

class Solution:
    def countBits(self, num: int) -> List[int]:
        if num == 0:
            return [0]
            
        dp = [0]*(num+1)
        dp[0],dp[1] = 0,1

        for i in range(2,num+1):
            if i%2==0:
                dp[i]=dp[i//2]
            else:
                dp[i]=dp[i-1]+1
        return dp