原文：https://www.textbook.ds100.org/ch/19/vector_space_review.html

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• 矢量定义

• 缩放和添加向量

• 矢量符号

• 矢量$\vec 1$vector

• 一组向量的跨度

• 向量空间

• 向量子空间

• 向量之间的角度

• 矢量长度

• 两个向量之间的距离

• 正交向量

• 矢量投影

矢量由长度和方向定义。

注意，$\vec x 和$\vec y 具有相同的长度和方向。它们是相等的向量。

缩放向量就是改变向量的长度。

注意$\vec 2x$和$\vec y$有方向但长度不同。他们不平等。

若要添加两个向量$\vec y+\vec z$，请根据$\vec y 的长度执行一步，然后立即根据\vec z 的长度执行一步（反之亦然）。这也被称为三角形方法，将向量的初始点放在另一个向量的端点上。

向量通常用笛卡尔坐标表示。

$$\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}14\end{array}\right],\overrightarrow{y}=\left[\begin{array}{c}32\end{array}\right],\overrightarrow{z}=\left[\begin{array}{c}40\end{array}\right]$$

在这个符号中，我们前面看到的算术运算变得非常简单。

$$\overrightarrow{2x}=\left[\begin{array}{c}28\end{array}\right],\overrightarrow{-0.5z}=\left[\begin{array}{c}-20\end{array}\right],\overrightarrow{2x+-0.5z}=\left[\begin{array}{c}08\end{array}\right]$$

可以添加向量并按比例缩放元素：

$$a\overrightarrow{x}+b\overrightarrow{y}=\left[\begin{array}{ccccccc}a{x}_1& +& b{y}_1& ⋮& a{x}_n& +& b{y}_n\end{array}\right]$$

在任何$d$维空间中，$\vec 1 是所有$1$的向量：$\begin bmatrix 1 \vdots\1 \end bmatrix$

一组向量的跨度$\ \ vec v、\vec v、\dots、\vec v p 是所有可能的线性组合的集合。对于这些$P$向量：

$$c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}+\cdots +c_p\overrightarrow{v_p}:\mathrm{\forall }{c}_i\in F$$

其中$F$是向量空间的字段（超出范围）。

向量空间$v$是一组向量的跨度，$n\ vec \ vec \ v，\vec \ v，\dots，\vec v \ p，其中每个$\ vec v，$是$n\乘以 1$维列向量。

$v$的子空间$u$是一组向量的跨度（$v\ vec \ vec u、\dots、\vec u \ u），其中每个向量（$vec u i）以 v$表示。这意味着$U$中的每一个向量也都是$V$中的。

当您将任意两个向量端到端放置而不改变它们的方向时，可以测量它们之间的角度。

直觉在$\mathbb r ^2$中：

回想一下加上两个向量的三角形方法。如果我们在$\mathbb 2$中添加两个垂直向量$\vec vec 在这种情况下，我们还知道，$\vec a+\vec b$的长度将遵循勾股定理：$\sqrt a^2+b^2$。

马蹄布 r \\125\125\124\123;\124\124\124\\124\124; 124\124\124; \124\124\124\\\\\\\；V \端对齐$$

其中，最后一个运算符是点积。

$$\begin{array}{rlr}\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}& =x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n& =||x||||y||\cos \theta \end{array}$$

第一个表达式称为点积的代数定义，第二个表达式称为几何定义。注意，点积是为$\mathbb r ^n$中的向量定义的内积。

$$dist(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=||\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}||$$

要使两个非零向量正交，它们必须满足$\vec x \cdot\vec y=0$的属性。因为它们的长度不是零，所以两个向量正交的唯一方法是当$\cos \theta=0$时。一个令人满意的角度是 90 度，我们熟悉的直角。

要将一个向量$\vec x 投射到另一个向量$\vec y 上，我们需要找到最接近于\vec x 的$K\vec y$

根据毕达哥拉斯定理，我们知道$k$必须是标量，这样，$vec x-k\vec y 就垂直于$vec-y，所以$k\vec y 是$vec x 到$vec y 的（正交）投影。

同样地，为了将一个矢量\\\123 \ 123，点，\123\123\123\\123\\123\123\\\\123；v_p 美元，最接近于\vec x 美元。