原文： http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter18/section01.html

假设我们有两种动物。 型动物吃 型。我们认为，在没有 类型的动物的情况下， 类型的动物将无法进食，并会死亡或离开以避免这样做。另一方面，我们假设在没有 类动物的情况下， 类型将有更好的生存机会，并将经历人口增长。

设 代表我们 型动物区域的种群。在没有 类型生物的情况下，最简单的模型是 种群的变化是 本身的负数倍：

同样，在没有 生物的情况下，对于某些 ， 类型的群体 行为的简单模型将显示增加和服从，

如果 或 为 ， 和 之间的相互作用必须是 。最简单的相互作用模型是 中 每单位时间的变化对某些 的 的贡献， 对某些 的影响 HTG12]。

对于这种情况，我们最简单的模型就是这种形式

和

那么我们可以对这个模型中这些人群的行为说些什么呢？

我们可以先寻找稳态解决方案。当两个导数都是 时会发生这些情况。当发生这种情况时，两个物种的种群保持不变。这种解决方案称为方程的固定点。

这种情况发生在 和 和 时。

如果 或 中的小偏差趋于消失并且至少不向外螺旋，则认为定点解是稳定的。您可以通过数字“积分”这些方程式来研究此固定点的稳定性，对于您选择的 ， ， 和 的值。从 和 的值开始，从固定点略微偏离并向前移动，发现 和 完全像在积分中一样（在第 14 章中讨论过） ]），使用左手规则。

在 平面中往往会发生的是，解决方案通常会向固定点螺旋式上升。

如果在这个平面上有一个轨道，没有其他轨道可以越过它，因为在一个共同点上，两者的导数是相同的，这意味着轨道在之后是相同的。

练习：使用电子表格进行设置，并检查此结论。

例如，如果人口 突然从其固定点值减少，你可以定性地看到会发生什么。这导致 从其固定点处的 值减少，从而群体 减少。这反过来导致 的增加。因此，如果 是用于绘制轨道的垂直坐标，从固定点下方开始，轨道绕其逆时针移动。

您甚至不需要电子表格来查看解决方案的行为方式。给定起点 ，您可以从中绘制一个箭头，指向其切线为该点处 导数与 导数之比的方向。然后沿该箭头选择一个小距离的点，并重复这些步骤。您将在 平面中生成系统的近似轨道。

如何发挥作用在很大程度上取决于两个人口从减少中恢复的速度。

一个有趣的案例是苍蝇是猎物，鸟类是食用它们的捕食者。如上所述，如果减少飞行种群，也会减少鸟类数量。然而，苍蝇种群恢复相对较快，大约几周，而鸟类种群恢复数年。因此，鸟类种群往往会在短时间内下降，但只能缓慢地再次上升到它们的固定点值。这意味着苍蝇种群会在相当长的时间内增加，并且大部分时间都会花在远高于固定点值的水平上。因此，除非非常短暂，否则杀死苍蝇的活动并不是减少苍蝇种群的有效方法。