原文： http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section04.html

在给定间隔内具有被积函数 的黎曼积分被定义为当 接近 的大小 的子区间的总和 ， 乘以 的值时的极限 。该子区间中的任意点，当该限制存在时，并且对于所有区间中的每个点选择都是相同的。否则，该函数被称为在该间隔内不可积。

所有有理数上的 和所有其他数上的 的函数在这个意义上显然不可积，因为任何非零大小的每个区间都包含有理数和无理数，因此这两个函数的值都是 和 。有许多非有理数而不是有理数，这表明我们可能忘记有理数，并说积分是 。另一方面，如果我们在计算机上执行数值计算，由于计算机将每个点都舍入到理性点，我们会找到每个区间的值 。

还有另一种方法来定义函数的积分，刚才描述的函数是可积的。

我们可以通过平行于 轴的切片分割成碎片，而不是通过平行于 轴的切片来分割由积分计算的面积。

假设，为方便起见，被积函数是非负的，我们在有限的区间内进行积分。然后，对于每个切片，我们将发现对于域内的某些点，切片在被积函数之下，对于某些切片在其上方，并且对于一些而言，被积函数位于切片内。随着切片的大小减小，来自最后一个的贡献变得可以忽略不计，并且积分将是切片低于被积函数的贡献的总和。

对于连续的被积函数，对于每个切片，它下面的点将在实线上形成一些区间集。我们很快就会注意到有很多种积分。在每一个中，我们为切片低于被积函数的点集的每个切片定义“度量”，并且所有切片上的这些度量的总和必须收敛到积分。

什么构成措施？主要必要条件是不相交集的度量之和（这些是没有共同点的集合）是它们并集的度量（并集是任何一个中的点集）。这必须适用于任何有限数量的相互不相交的集合的联合：它们的联合必须具有与其度量的总和相等的度量。由于可数列表中的任何点都位于可数列表的有限初始段中，因此任何可数数量的集合的并集度量必须是其度量的总和才有意义。

在通常的积分 的情况下，间隔的度量是其长度。单个点是长度 的间隔，并且具有 度量。

这告诉我们，任何可计数的点集的度量必须是 的可数和，因此必须是 以及此度量（和它们一样的度量。）

我们可以得出结论，对于通常的积分，有理数上的 和其余实数上的 的奇怪函数是可积的。有理数的数字是可数的，它是 的可数和，因此是 。因此，其余部分的度量是积分的区间的长度，并且这个奇怪的函数确实是可积的。

还有哪些措施？

我们已经遇到了一些其他措施;如果我们处理 ，即 ，我们使用 定义的度量来积分 。例如，如果 是 ，则间隔的度量不是其长度，而是在间隔的端点处其值之间的 的差异。

此外，普通总和，例如 ，也可以写成 Lebesgue 积分，在这种情况下使用点 上的 ，以及 和 其他地方的量度。

自物理学家 世纪以来一直使用这种积分，并且有一段时间被数学家所厌恶。物理学家引入了“δ函数” ，它是 ，除非 是 ，但其积分是 。然后可以将表示前一段总和的积分写为

delta 函数 的明显问题是当 为 时它必须是无限的。幸运的是，允许它作为 的函数在 周围具有不可测量的小宽度的后果，在这种情况下它可以保持有限，对于所有用途都是不可检测的，在最终应用时，它被集成过度。从勒贝格积分的角度来看，这只是另一种衡量标准。

如果您发现任何这些东西很有趣，请了解更多信息！