原文： http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section02.html

我们对积分的导数感兴趣

相对于上限， 。

我们可以通过评估 非常小的 来粗略计算这个导数。

但 只是

和 之间的区域只是一个条子，其中 非常接近 。所以 和 之间的这个区域的区域只是 ，其中 是条子的宽度， 是它的高度，到第一个近似值。

这告诉我们 的导数，即参数 中正弦函数积分的导数，是这个区域除以 ，即 。

完全相同的结果适用于任何函数，其参数值足够接近 ，它与 的值尽可能接近。 （这些被称为连续函数）适用于所有 之间的集成限制。

这个结果是被称为微积分的基本定理。它说：如果你区分一个函数的积分 ，那么在包含积分的闭合区间中的参数 处是连续的（这是条件，如果值非常接近）如果你想 足够接近 ），你可以在论证 中找回被积函数的值 。

另一种说法是：**上限为变量的积分，**是我们刚刚定义的一个区域，是其被积函数的反导数，当该被积函数是连续的时。

这意味着积分函数然后将结果与上限区分开来，返回函数。

我们也可以以相反的顺序做出相同的声明。

假设我们从可微分函数 开始，并形成其导数 ，并将此导数积分到某处，比如 和 。

换句话说，假设我们形成

然后基本定理告诉我们： 。

为了看到这一点，请记住，如果 在参数 中是可微分的，那么 足够小，我们可以达到任何所需的精度：

如果我们将 之间的间隔切割成适合于每个 值的 给出的宽度切片，我们可以总结方程 任何一侧对所有切片的贡献。我们对每个切片使用相同的值

上面最后一个等式中正负项的总和将给出小切片中面积的总和。这笔钱将“望远镜”。来自一个切片的左项将是具有相反符号的前一切片的右项;这两个将相互抵消，我们将只从第一个和最后一个切片获得贡献。这意味着：

这是基本定理的标准形式。

这个“基本定理”有什么用？

这个定理及其类似物在更高维度上的使用在历史上是如此重要，以至于它们不能被夸大。我们将在这里忽略这些。出于我们的目的，这个定理的主要用途是允许我们评估积分，即曲线下的区域，用于大量的被积函数。

什么被积分 ？

对于初学者，我们可以积分我们可以识别为导数的任何被积函数。

例如，正弦是减去余弦的导数。将上面的最后一个等式应用于这个事实，我们得到了

我们用作例子的原始区域是 到 的正弦积分。这是\（\ cos（0） - \ cos（1）\）或 。

我们还能识别出什么？

1. 的任何幂，例如 ，因此任何多项式或幂的总和。

2.任何 的指数函数 和 。

3.反正切，正切和反正弦的导数，以及更多。

练习：计算如下定义的积分：

13.1 从 到 的整数 。

13.2 从 到 的整数 。

13.3 从 到 的整数 。

13.4 从 到 的整数 。

13.5 写下一些可怕的函数。区分它。现在请一位朋友（前朋友？）积分你的结果。你会知道答案！

13.6 记住这个单独的出现规则。区分（相对于 t）： 。