原文: http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter06/section01.html
Rational 函数是一个重要且有用的函数类,但还有其他函数。我们实际上通过从身份函数之外的两个附加函数开始获得最有用的函数,并且除了加法减法乘法和除法之外还允许两个以上的操作。
还有什么额外的启动函数?
这两个是**指数函数,**我们将暂时写为 **
这些是什么?
我们将花费一些时间和精力来尽快介绍和描述这两个函数及其众多精彩属性。目前,我们关心的只是它们存在,你可以在电子表格和科学计算器上找到它们,我们可以对它们进行算术运算(加法,减法,乘法和除法)。如果你只需要一个提示,正弦函数是角度研究的基本函数,称为三角学。 指数函数根据导数定义。 它是在参数 0 处的值为 1 的函数,它具有与其自身相同的导数。 我们有
这个定义可能会使函数起初有点神秘,但你必须承认它可以很容易地区分这个函数。
这个指数函数有一个重要而有趣的特性:即
(证明的想法)作为
**
还有哪些额外的操作?
我们想要使用的两个新操作是替换,和反转。
And what are these?
如果我们有两个函数,
替换比听起来更简单。假设您在框 A5 中的电子表格中有
如果将多项式替换为多项式,则只需得到多项式,如果将有理函数替换为有理函数,则仍然具有有理函数。但如果你把这些东西替换成指数和正弦,你会得到全新的东西(如
正如利用指数函数或正弦函数的复制品对电子表格或科学计算器没有任何问题一样,替换也没有真正的问题。我们已经看到你可以在 B10 中创建 g(A10),然后在 C(10)中创建 f(B10)并且在 C10 中创建了替换值 f(g(A10))。你可以通过重复这个过程,构建最可怕的替换组合和可想象的算术运算,甚至比你想象的还要糟糕,只有很少的难度,你也可以找到它们的数值导数。
在我们继续上一次操作之前,我们注意到有一个与替换操作相关的很好的属性。正如我们已经找到上面的公式来找到总和或乘积的导数或者我们知道的导数的函数的比率,我们根据其成分的导数得到了替代函数的导数的整齐公式。 实际上它可以是一个简单的公式。
结果通常称为链规则:
某些自变量
假设,我们对变量
如果
如果
根据这一说法,链条规则可以读取
换句话说,这意味着取代函数的导数值
一些例子怎么样?
我们将给出两个例子,但你应该为自己制定至少十几个例子。
例 1:假设我们将具有
替代函数
你可以在这里将多维数据集相乘,然后进行区分以获得相同的结果,但这样做会更加混乱,并且大多数人在执行此操作时至少会犯一个错误。如果按照连锁规则进行,那么即使是第一次,你也有可能把这些事情做好。 (不幸的是,如果你正确地执行它,你将无法从中进行任何练习调试。)
这是通过将函数
练习:
6.1 写下
6. 2 使用衍生小程序检查每个结果。
6.3
a。考虑公式
c。如果函数
好的,我现在在哪里?
此时,您可以使用规则来区分使用算术运算和以身份函数(
数字
回答这个问题的一个简单方法是将
因此,根据定义,我们知道
练习 6.5 使用电子表格对本系列的前 18 个术语求和。
我得到