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第一部分 Electromagnetism
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第一章 Maxwell's Equations
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通过引入复值向量场($ E+iB $)，利用Maxwell方程中的duality将其化为两个方程，再展开回Maxwell方程的常见形式。

分析了Maxwell方程的Lorentz不变性，指出在本部分结束时，我们能够意识到Maxwell方程其实可以写成：
($$ dF=0 $$)
($$ *d*F=J $$)

第二章 Manifolds
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本章意在以坐标无关的方式介绍流形。

以开集、拓扑空间、领域等概念开场，介绍了($ chart $)这种能够把拓扑空间映射为($ R^n $)的东西，从而定义了($ n $)维流形。

从而自然也就可以把定义在($ n $)维流形上的函数($ f $)，通过($ f \rightarrow f \cdot chart^{-1} $)的方式，变成了在($ R^n $)上定义的函数。

稍微讨论了一下流形的连续和光滑。

($ C^∞(M) $) 表示流形($ M $)上的光滑实值函数的集合。

第三章 Vector Fields
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### 第一小节 向量场

这一小节革新了我们对向量场的传统观念。

不再把向量视为具有大小和方向的箭头，而视为在其方向上的对任意($ f $)的方向导数，即($ v = v^μ \partial_μ $)。

进一步抽象地将流形($ M $)上的向量场($ v $)定义为：
($$ v: C^∞(M) \rightarrow C^∞(M) $$)

并且满足线性法则以及Leibniz法则:
($$ v (f + g) = vf + vg $$)
($$ v (α f) = α vf $$)
($$ v(fg) = v(f) g + f v(g) $$)

并定义了向量场的和与积。

随后证明了($ \{ \partial_μ \} $) 形成($ Vect(R^n) $)的一组基，也即任意($ v $)都可以唯一地表示为($ v^μ \partial_μ $)的形式，。

综上，我们意识到了向量场的方向导数本质，并回归了向量的分量定义。

($ Vect(M) $)，表示($ M $)上所有向量场的集合。

($ v $)在点($ p $)，定义了切向量。点($ p $)的所有的切向量组成($ T_p M $)。

($ γ： R \rightarrow M $)，定义了曲线。

### 第二小节  逆变和协变

我稍微滥用一下定义域这个词来解释：

如果有微分同胚（diffeomorphism）($ φ: M \rightarrow N $)，另有($  f : N \rightarrow R $)，那么：($ f φ ： M \rightarrow R $)。

如果我们定义 ($ φ^* f = f  φ $)，那么($ φ^* $)就是一种把一个定义域在($ N $)的函数($ f $)“拉回（pullback）”定义域($ M $)的操作。

这样我们也就定义具有这种性质的东东是逆变的，在这里，也就是($ C^∞(M) $)是逆变的，因为一个明明正向的($ φ $)，起到的却是一种拉回的效果。

那么再给出“推前（pushforward）”定义：
($$ (φ_* v)f = v ( φ^* f ) $$)

其中，($ f: N \rightarrow R， v:  C^∞(M) \rightarrow C^∞(M)  $)。

注意看：
右边是通过先把($ f $)从定义域($ N $)拉回到($ M $)，然后将向量场作用其上。
左边是通过先把向量场从($ M $)推前到($ N $)，然后将其作用在($ f $)上。

### 第三小节 流和李括号

顺着($ v $)，我们可以得到积分曲线($ γ $)。想象一个点顺着($ γ $)流动，在时间($ t $)我们就得到了这么一个映射：
($$ φ_t : M \rightarrow M $$)

($ \{φ_t \} $)也就成为了($ v $)生成的流。

李括号其实很像柏松括号，或者说算符的互易子。
($$ [v, w] = v w - w v $$)

李括号也就表征了“先顺($ v $)流再顺($ w $)流的流”与“先顺($ w $)流再顺($ v $)流的流”之间不可互易的程度。

第四章 Differential Forms
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### 第一小节 1-形式

向量场是倒腾函数的，1-形式则是把向量场倒腾成另外的函数。
($$ ω： Vect(M) \rightarrow C^∞(M) $$)

同样需要满足线性法则：
($$ ω（v + w）= ω v + ω  w $$)
($$ ω (g v ) = g ω ( v ) $$)

注意，这里从向量场定义里的数乘变成了函乘。

同样，很容易定义1-形式的和与函积。

($ Ω^1(M) $)表示M上的所有1-形式的集合。

定义一种特殊的1-形式——外微分($ df $)：
($$ df(v) = v f $$)

接下来通过对

($ d \sin x = \cos x dx $)两边的分别变形，在外微分的语境下，阐释了微分形式不变形的真谛。

($ \{ dx^μ \} $) 形成 1-形式在($ R^n $)上的一组基。

于是可以定义：
($$ ω_μ =  w(\partial_μ) $$)

得到：
($$ ω = ω_μ dx^μ  $$)

这样1-形式也被我们展开成了分量形式。

### 第二小节 余切向量

于是我们很自然得到了余切向量：
($$ ω_p(v_p) = ω(v)(p) $$)

点($ p $)的所有余切向量组成($ T^*_p M $)。

余切向量是逆变的。

### 第三小节 坐标变换

以上的讨论都是不涉及具体坐标的。

在不同的坐标选择之间，如何变换？
($$ \partial_μ = T^υ_μ \partial'_υ $$)

很容易推得：
($$ T^υ_μ = \partial x'^υ / \partial x^μ  $$)

而且这个变换关系也适用在向量场和1-形式上：
($$ v'^υ = T^υ_μ v^μ $$)
($$  ω'^υ = ω^υ_μ ω^μ $$)

### 第四小节 p-形式

通过定义 只需满足
($$ w ∧ v = - v ∧ w $$)

的外代数 ($ ∧ $)。

这个代数构成了($  ∧V $)。

严格的代数规则见书中，其中这个反交换规则是不包含在内的，而是作为一个自然的推论。

我们定义p-形式为“p个1-形式的∧乘”的线性组合。

一般情况下，p-形式具有如下的形式：
($$ 1/(p!) ω_1...p dx^1 ∧ ... ∧ dx^p $$)

($ v∧ w $)和($ u ∧ v ∧ w $)我们得到了类似叉乘($ v × w $)和三乘 ($ u \cdot (v × w) $)的结果，区别在于，叉乘的结果是向量， 三乘的结果是标量，而这里的结果分别是2-形式和3-形式。

在这个过程中，我们发现叉乘的右手规则，其实是不必要的，唯有当我们企图把一个2-形式映射为一个1-形式的时候，才会涉及到手性。

### 第五小节 外微分

我们定义严格的外微分：
($$ d: Ω^p（M）\rightarrow Ω^p+1(M) $$)

1. ($ p $)从($ 0 \rightarrow 1 $)的定义还是基于之前的外微分定义；
2. 满足线性规则
3. ($ d(ω ∧μ) = dω∧μ + (-1)^p  ω∧ dμ $)。 
4. ($ d^2 ω = 0 $)。

于是我们看得很清楚，在($ R^3 $)中

1. ($ Grad $)是($ p $)从($ 0 \rightarrow 1 $)
2. ($ Curl $)是($ p $)从($ 1 \rightarrow 2 $)
3. ($ Div $)是($ p $)从($ 2 \rightarrow 3 $)

第五第六章见下一则笔记。